Testy źródłowe: Concurso de Primavera
1. Wielomian $P(x)$ jest stopnia 4 i jego współczynnik przy najwyższej potędze $x$ jest równy 1. Wszystkie pierwiastki wielomianu $P(x)$ są liczbami nieparzystymi. Ile współczynników nieparzystych ma ten wielomian?
2. Rzucamy trzy razy symetryczną kostką sześcienną i sumujemy liczby wyrzuconych oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy sumę 10?
3. Pies pokonał pewną odległość ze stałą prędkością. Gdyby zwiększył prędkość o $\frac{1}{3}$ km/h, zajęłoby mu to piętnaście minut krócej. Gdyby zmniejszył prędkość o $\frac{1}{1,5}$ km/h, zajęłoby mu to dziesięć minut dłużej. Ile kilometrów pokonał pies?
4. Dziewięciokąt foremny o boku długości 6 cm na dzielimy na dziewięć równych trójkątów równoramiennych odcinkami łączącymi środek dziewięciokąta z jego wierzchołkami. Następnie, używając tych dziewięciu trójkątów, tworzymy większy, podobny trójkąt równoramienny. Wysokość większego trójkąta, w cm, wynosi:
5. Don Ramón i Doña Fina zaorali swoje działki i, co ciekawe, zajęło im to tyle samo czasu. Gdyby Don Ramón zaorał farmę Doñi Finy, zajęłoby mu to 36 godzin, a gdyby Doña Fina zaorała farmę Don Ramóna, zajęłoby mu to 64 godziny. Ile godzin potrzebowała Doña Fina na zaoranie swojej działki?
6. Wielomian $P(x)$ stopnia 3 ma pierwiastek 4 krotności 1 i pierwiastek 7 krotności 2. Ile wynosi suma pierwiastków wielomianu $P'(x)$ ?
7. Która z podanych liczb ma najwięcej dzielników ?
8. Liczba $\overline{abc}$ nie ma powtarzających się cyfr. Jaka jest wartość $b$, jeśli wiemy, że największy wspólny dzielnik liczb $\overline{abc}$ i $\overline{cba}$ jest największy z możliwych?
9. Iloczyn cyfr pewnej liczby całkowitej $n$ wynosi $20$. Który z poniższych wyników NIE MOŻE być iloczynem cyfr liczby $(n + 1)$?
10. Dziesięciokąt foremny został podzielony (jak widać na rysunku) na dziesięć rombów dwóch typów. Jaki jest stosunek powierzchni białej do zacieniowanej?
11. W każdym kwadracie planszy $4\times4$ umieszczamy jedną z liczb $1$, $2$ lub $3$ tak, aby suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie była wielokrotnością liczby $3$. Na ile różnych sposobów można to zrobić?
12. Ile jest dzielników liczby $2025^{5}$ będących kwadratami lub sześcianami liczb naturalnych?
13. Dany jest ciąg, w którym znamy pierwszy wyraz $a_{1} = 1$ i drugi wyraz $a_{2} = \frac{2}{5}$. Następne wyrazy ciągu tworzone są za pomocą wzoru $a_{n} = \frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1} }{2\cdot a_{n-2}\ - a_{n-1}}$. Wyraz $a_{2025}$ zapisany został w postaci ułamka nieskracalnego $\frac{p}{q}$. Ile równa jest suma $p+q$?
14. Każdy wierzchołek ośmiościanu foremnego jest punktem przecięcia się przekątnych jednej ze ścian sześcianu. Jaki jest stosunek objętości sześcianu do objętości ośmiościanu?
15. Jeżeli prawdopodobieństwo urodzenia się w dowolnym miesiącu jest takie samo, to w grupie dwunastu osób prawdopodobieństwo, że każda z tych osób będzie miała urodziny w innym miesiącu, jest równe:
16. Po uporządkowaniu wszystkich liczb palindromicznych od najmniejszej do największej (z wyłączeniem liczb jednocyfrowych), liczba na pozycji 2025 wygląda następująco:
17. Rozbitek zużywa 10% swojego zapasu prowiantu każdego dnia. Którego dnia po raz pierwszy pozostanie mu mniej niż 40% początkowego zapasu prowiantu?
18. W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątna $AC$ ma długość $12$. Symetralna przeciwprostokątnej przecina przyprostokątną $BC$ w punkcie $D$, tak że odcinek $BD$ ma długość $13$. Pole czworokąta $AMDC$ wynosi:
19. Liczby $x$ i $y$ spełniają odpowiednio równania $(x-1)^3 + 2(x-1) -14 = 0$ $\text{ i } (y-1)^3 + 2(y-1) + 14 = 0.$ Ile równa jest suma $x + y$?
20. Liczba dwucyfrowa $\overline{xy}$ jest równa trzykrotności iloczynu cyfr i ich sumy. Cyfra jedności $y$ jest równa:
21. Równość $\text{log}_{b}(a+c)=\text{log}_{b}(a) + \text{log}_{b}(c)$ na ogół nie jest prawdziwa, jednak istnieje wyjątkowa liczba $x$, dla której zachodzi równość $\text{log}_{b}(25+x)=\text{log}_{b}25 + \text{log}_{b}x$. Co to za wyjątkowa liczba?
22. Losujemy punkt $P(x,y)$ ze zbioru punktów, których współrzędne spełniają warunki $|x-1|<1$ i $|y-1|<1.$ Jakie jest prawdopodobieństwo, że współrzędne tego punktu spełniają warunek $|x-1|+|y-1|<\frac{1}{2}$?
23. Bok kwadratu $ABCD$ ma długość 2. Punkty $M$ i $N$ są środkami boków odpowiednio $AB$ i $BC$. Promień okręgu wpisanego w czworokąt $BNDM$ wynosi:
24. Jeśli liczby $x$ i $y$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to jaka jest największa wartość wyrażenia $(3+x)(3-x)+(7-y)(3+y)$?
25. W sześciokącie foremnym $ABCDEF$ o boku 2, narysowano przekątną $BF$ i dwusieczną kąta $CBF$. Dwusieczna przecina przedłużenie boku $CD$ w punkcie $P$. Odcinek $CP$ ma wymiary: