Testy źródłowe: Concurso de Primavera
1. Jeśli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=20$, to jaka jest wartość wyrażenia $\frac{b(30a-1)+a}{a(15b-1)+b}$?
2. Jaka jest wartość wyrażenia $\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}$?
3. Równość $A + B + C + D + E = \overline{FG}$ stanowi zapis informacji, że suma pięciu jednocyfrowych liczb $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ jest równa dwucyfrowej liczbie $\overline{FG}$. Spośród siedmiu cyfr tylko dwie są równe i pozostałe są różne. Jeśli liczba $\overline{FG}$ jest największa z możliwych, jaka jest wartość cyfry $G$?
4. Dla każdej liczby naruralnej $n$ większej od $1$, definiujemy $a_{n}=\frac{1}{\text{log}_{n}2025}$. Jeśli $b=a_{2}-a_{6}$ i $c=a_{25}+a_{27}$, to $b-c$ równa się:
5. Ile liczb trzycyfrowych można zapisać w postaci $3a^{a}+9b^{b}$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi dodatnimi, niekoniecznie różnymi?
6. Na przedstawionym rysunku, czworokąt $ARTE$ jest kwadratem o boku $2$ i środku $O$. Punkty $L$, $E$ i $T$ leżą na jednej prostej, a czworokąt $HOLA$ jest rombem. Ile wynosi pole rombu $HOLA$ ?
7. Ile czteroliterowych haseł można utworzyć przy użyciu liter słowa $SÉPTIMO$, pod warunkiem, że jeśli hasło zawiera trzy litery takie same, to nie mogą one być ustawione razem.
8. Liczba naturalna $M$ ma tę własność, że liczby $M+1823$ i $M+4604$ są kwadratami kolejnych dwóch liczb naturalnych? Jak jest cyfra jedności liczby $M$?
9. Pole trójkąta $ABC$ przedstawionego na rysunku jest równe:
10. W kwadracie $ABCD$ przedstawionym na rysunku punkty $P$ i $Q$ są położone tak, że odcinki $AP$ i $PQ$ są prostopadłe oraz odcinki $CQ$ i $PQ$ są prostopadłe. Ponadto $|AP|=10$ $|PQ|=2$, $|CQ|=8$. Ile wynosi pole kwadratu $ABCD$?
11. Kostka sześcienna z oczkami na ściankach od 1 do 6, nie jest wagowo zrównoważona i prawdopodobieństwo wyrzucenia ścianki z liczbą oczek większą niż 3 jest dwukrotnie większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia ścianki z liczbą oczek mniejszą niż 4. Rzucamy kostką do momentu gdy po raz pierszy wypadnie ścianka z liczbą oczek mniejszą niż 4. Prawdopodobieństwo wykonania co najmniej sześciu rzutów wynosi:
12. Dane są funkcje opisane wzorami $f(x)=8x^2+3$ i $g(x)=6x$. Funkcja $h$, która spełnia warunek $h[f(x)]=g(x)$ zadana jest wzorem $h(x)=$
13. W szafie pana Magika jest dziewięć różnych par rękawiczek. Jeśli wyciągnie cztery rękawiczki na chybił trafił, to jakie jest prawdopodobieństwo, że znajdą się wśród nich co najmniej dwie rękawiczki należące do tej samej pary?
14. W kwadracie o boku 2, promień okręgu przechodzący przez jeden z wierzchołków i środki boków naprzeciwko tego wierzchołka jest równy:
15. Liczby rzeczywiste, które są rozwiązaniami równania $\sqrt{25+x^{2}}+\sqrt{25-x^{2}}=x^{2}$ to:
16. Wynik mnożenia $\underbrace{222\ldots 2}_{n \text{ cyfr}}\cdot \underbrace{999\ldots 2}_{n \text{ cyfr}}$ jest równy:
17. Cięciwy okręgu, $AB$ i $CD$, przecinają się w punkcie $E$ pod kątem $|AED|=60^{\circ}$. Znane są także długości odcinków $|AE| = 3$, $|EB| = 2$ i $|CE| = 1$. Wynika stąd, że promień okręgu ma długość:
18. W kwadracie o boku $10\text{ cm}$ cm Centesima narysowała dwa łuki będące ćwiartkami okręgów o promieniach długości $5\text{ cm}$ i środkach znajdujących się na przeciwległych wierzchołkach. Następnie narysowała szare koło styczne do tych łuków i dwóch boków kwadratu, jak pokazano na rysunku. Jaki jest promień szarego koła w cm?
19. Punkt $C$ leży na średnicy $AB$ okręgu o środku $O$ i jest położony tak, że $|BC| = 2|AC|$. Niech $D$ i $E$ będą punktami na okręgu, takimi że odcinek $DC$ jest prostopadły do średnicy $AB$, a odcinek $DE$ jest inną średnicą tego okręgu. Jaki jest stosunek pól trójkątów $DCE$ do $ABD$?
20. Stosunek długości $d$ przekątnej pieciokąta foremnego do długości $l$ jego boku jest równy $\frac{d}{l} = \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$Wynika stąd, że cosinus kąta $18^{\circ}$ jest równy:
21. Suma piętnastu kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 2025. Ile liczb pierwszych jest wśród nich?
22. W trójkącie prostokątnym o bokach, których długości wyrażają się liczbami całkowitymi, suma długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej wynosi 54. Jaki jest obwód tego trójkąta?
23. Punkt A(3, 2) obracamy wokół punktu P(l, 1) o 45° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Pierwsza współrzędna uzyskanego punktu to:
24. Zbiór wszystkich wartości parametru $m$ dla których, proste o równaniach $y=2x+m^{2}$ i $y=m(x-2) mają jeden punkt wspólny w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych to:
25. Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne, które mają wspólną przeciwprostokątną $AB$. Jaka jest długość tej przeciwprostokątnej?