Matemáticas

Alcance básico.

El estudiante:

1. realiza operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, radicales, logaritmos) en el conjunto de números reales;
2. realiza pruebas sencillas de divisibilidad de números enteros y restos de la división, no más difícil que:
   (a) prueba de divisibilidad por $24$ del producto de cuatro consecutivos números naturales;
   (b) demostración de la propiedad: si un número al dividirlo por $5$ da un resto de $3$, su tercera potencia al dividir por $5$ da un resto de $2$;
3. aplica las propiedades de los elementos de cualquier grado, incluidos los elementos de grado impar de números negativos;
4. El estudiante aplica la relación entre raíces y potencias y las leyes de acción sobre las potencias y los elementos;
5. aplica las propiedades de la monotonía de la potenciación, en particular las propiedades:
   si $x < y$ y $a>1$, es $a^x<a^y$ ,
   si $x < y$ y $0<a<1$, es $a^x>a^y$ ;
6. utiliza el concepto de intervalo, marca los intervalos en el eje numérico; Matemáticas simplificadas/527
7. utiliza la interpretación geométrica y algebraica de los valores absoluto, resuelve las ecuaciones i desigualdades de tipo: $\left|x + 4\right| = 5$, $\left|x - 2\right| < 3$, $\left|x+3\right| \geq 4 $; Matemáticas simplificadas/541
8. utiliza las propiedades de potencias y raíces en situaciones prácticas, incluido el cálculo de los porcentajes de depósito, las ganancias de los depósitos y los costes de los préstamos;
9. utiliza relación entre logaritmos y potencias, utiliza fórmulas para el logaritmo del producto, el logaritmo del cociente y el logaritmo de la potencia;
   LOGARITMOS Super fácil - Para principiantes
   Logaritmos | Introducción conceptos básicos
   Propiedades de los logaritmos | Logaritmo de un Producto
   Propiedades de los Logaritmos | Logaritmo de un Cociente
   Propiedades de los Logaritmos | Logaritmo de una potencia

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. usa la fórmula para cambiar la base del logaritmo.

Alcance básico.

El estudiante:

1. utiliza fórmulas de multiplicación abreviada:
   $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$,$(a+b)^3$, $(a-b)^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$;
2. suma, resta y multiplica polinomios de una y muchas variables;
3. aplica las propiedades de los elementos de cualquier grado, incluidos los elementos de grado impar de números negativos;
4. El estudiante aplica la relación entre raíces y potencias y las leyes de acción sobre las potencias y los elementos;
5. aplica las propiedades de la monotonía de la potenciación, en particular las propiedades:
   si $x < y$ y $a>1$, es $a^x<a^y$ ,
   si $x < y$ y $0<a<1$, es $a^x>a^y$ ;
6. utiliza el concepto de intervalo, marca los intervalos en el eje numérico; Matemáticas simplificadas/527
7. utiliza la interpretación geométrica y algebraica de los valores absoluto, resuelve las ecuaciones i desigualdades de tipo: $\left|x + 4\right| = 5$, $\left|x - 2\right| < 3$, $\left|x+3\right| \geq 4 $; Matemáticas simplificadas/541

Alcance extendido.

El estudiante encuentra las raíces enteras y racionales del polinomio de factores enteros;

1. El estudiante encuentra las raíces enteras y racionales del polinomio de coeficientes enteros;
2. utiliza las propiedades básicas del triángulo de Pascal y las siguientes propiedades del coeficiente binomial (símbolo de Newton):
   $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{1}=n$, $\binom{n}{n-1}=n$, $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$;
3. usa fórmulas para: $a^3+b^3$, $(a+b)^n$ i $(a-b)^n$.

Alcance básico.

El estudiante:

1. transforma ecuaciones y desigualdades de forma equivalente;
2. interpreta ecuaciones y desigualdades contradictorias y de identidad;
3. resuelve desigualdades lineales con una incógnita;
4. resuelve ecuaciones y desigualdades cuadráticas;
5. resuelve ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación cuadrática, en particular ecuaciones bicuadráticas;
6. resuelve ecuaciones polinómicas de la forma $W(x)=0$ para polinomios llevados a la forma de producto o aquellos que pueden llevarse a la forma de producto por agrupación;
7. resuelve ecuaciones racionales de la forma $\frac{V(x)}{W(x)}=0$,
   donde los polinomios $V(x)$ y $W(x)$ se escriben en forma de producto.

Alcance extendido.

El estudiante encuentra las raíces enteras y racionales del polinomio de factores enteros;

1. resuelve desigualdades polinómicas como: $W(x)> 0$, $W(x)\geq 0$, $W(x)<0$
   para polinomios factorizados o para que se pueden factorizar por el método de agrupación o exclusión del factor común;
2. rozwiązuje równania resuelve ecuaciones racionales y desigualdades, no más difícil que $\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1} \geq \frac{2x}{(x-1)(x+1)}$;
3. usa las fórmulas de Viète para ecuaciones cuadráticas;
4. Resuelve ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, con un grado de dificultad no más que: $\left|x + 2\right|+ 3\left|x -1\right| = 13$, $\left|x + 2\right|+ 3\left|x -1\right| < 11$;
5. analiza ecuaciones lineales y desigualdades con parámetros y determina el número de soluciones dependiendo de los parámetros, da las condiciones bajo las cuales las soluciones tienen la propiedad deseada y determina las soluciones dependiendo de los parámetros.

Alcance básico.

El estudiante:

1. resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, da una interpretación geométrica de sistemas que son marcados, indeterminados y contradictorios;
2. usa sistemas de ecuaciones para resolver problemas escritos;
3. resuelve sistemas de ecuaciones, uno de los cuales es cuadrático y el otro lineal, de la forma usando el método de sustitución
   $\begin{cases} ax + by = e \\ x^2 + y^2 + cx + dy = f \end{cases}$   lub   $\begin{cases} ax + by = e \\ y = cx^2 + dx + f \end{cases}$ .

Alcance extendido.

El estudiante encuentra las raíces enteras y racionales del polinomio de factores enteros;

1. resuelve sistemas de ecuaciones de forma $\begin{cases} x^2 + y^2 + ax + by = c \\ x^2 + y^2 + cx + dy = f \end{cases}$

Alcance básico.

El estudiante:

1. define las funciones como una asignación inequívoca utilizando una descripción verbal, una tabla, un gráfico, una fórmula (también con diferentes fórmulas en diferentes intervalos);
2. El estudiante calcula el valor en el punto de la función dada por la fórmula algebraica;
3. lee e interpreta los valores de funciones definidas por tablas, gráficos, fórmulas, etc., también en situaciones de uso repetido de la misma fuente de información o varias fuentes al mismo tiempo;
4. lee de la gráfica de la función: dominio, conjunto de valores, ceros, intervalos de monotonicidad, intervalos en los que la función toma valores mayores (no menores) o menores (no mayores) que un número dado, el mayor y el menor valores de la función (si existen) en un intervalo cerrado dado y los argumentos por los cuales la función acepta los valores mayor y menor;
5. interpreta los coeficientes en la fórmula de la función lineal;
6. determina la fórmula de una función lineal a partir de información sobre su gráfica o sus propiedades;
7. dibuja la gráfica de una función cuadrática dada por la fórmula;
8. interpreta los coeficientes en la fórmula de una función cuadrática en la forma general, canónica y producto (si existe);
9. determina la fórmula de una función cuadrática basada en información sobre esta función o su gráfico;
10. determina la fórmula de una función cuadrática basada en información sobre esta función o su gráfico;
11. determina el valor mayor y menor de la función cuadrática en un intervalo cerrado;
12. utiliza las propiedades de las funciones lineales y cuadráticas para interpretar problemas geométricos, físicos, etc., también integrados en un contexto práctico;
13. basado en la gráfica de la función $y=f(x)$ dibuja las gráficas de las funciones $y=f(x-a)$, $y=f(x)+b$, $y=-f(x)$ , $y=f(-x)$;
14. utiliza la función $f(x)=\frac{a}{x}$, incluido su gráfico, para describir e interpretar problemas relacionados con cantidades inversamente proporcionales, también en aplicaciones prácticas;
15. utiliza funciones exponenciales y logarítmicas, incluidas sus gráficas, para describir e interpretar problemas relacionados con aplicaciones prácticas.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. basado en la gráfica de la función $y=f(x)$ dibuja la gráfica de la función $y=\left| f(x) \right|$;
2. utiliza funciones compuestas;
3. prueba la monotonicidad de la función dada por la fórmula, como en el ejemplo: demuestre que la función $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$   es monótona en el intervalo $(-\infty , -2)$.

Alcance básico.

El estudiante:

1. calcula los términos de la secesión definida por la fórmula general;
2. calcula los términos iniciales de secuencias definidas recursivamente, como en los ejemplos:
   a) $\begin{cases} a_1 = 0,001 \\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2}a_{n}(1-a_{n}) \end{cases}$      b) $\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \end{cases}$  .
3. en casos simples examina si la secusión es ascendente o descendente;
4. comprueba si una secusión dada es aritmética o geométrica;
5. aplica la fórmula para el $n$-ésimo término y la suma de los $n$ términos iniciales de una sucesión aritmética;
6. aplica la fórmula para el $n$-ésimo término y la suma de los $n$ términos iniciales de una sucesión geométrica;
7. utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también en un contexto práctico.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. calcula los límites de sucesiones usando límites de suciones como $\frac{1}{n}$, $\sqrt[n]{a}$   y teoremas sobre los límites de suma, diferencia, producto y cociente de sucesiones convergentes, así como teorema sobre tres sucesiones;
2. reconoce las series geométricas convergentes y calcula su suma.

Alcance básico.

El estudiante:

1. utiliza definiciones de seno, coseno y tangente para ángulos desde $0^\circ$ hasta $180^\circ$, en particular, calcula los valores de funciones trigonométricas para ángulos $30^\circ$, $45^\circ$, $60^ \circ$;
2. encuentra valores aproximados de funciones trigonométricas usando tablas o una calculadora;
3. encuentra el valor aproximado de un ángulo usando tablas o una calculadora, si se da el valor de la función trigonométrica;
4. usa las fórmulas: $\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1$   y   tg$\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$;
5. usa la ley de senos y cosenos y la fórmula para el área de un triángulo $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot \sin\gamma$;
6. calcula los ángulos de un triángulo y las longitudes de sus lados dados los datos apropiados (resuelve triángulos).

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. usa la medida del arco, convierte la medida del arco de un ángulo a una medida en grados y viceversa;
2. usa gráficos de funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente;
3. utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas;
4. usa fórmulas de reducción para funciones trigonométricas;
5. utiliza las fórmulas del seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos, así como las funciones trigonométricas de ángulos duplicados;
6. resuelve ecuaciones y desigualdades trigonométricas con un grado de dificultad no mayor que en los ejemplos: $4\cos2x\cos5x = 2\cos7x+$1, $2\sin^2x \leq 1$.

Alcance básico.

El estudiante:

1. determina radios y diámetros de círculos, longitudes de cuerdas de círculos y segmentos tangentes, incluyendo el uso del teorema de Pitágoras;
2. reconoce triángulos agudos, rectángulos y obtusos con longitudes de lado dadas (por ejemplo, aplica el teorema inverso a el teorema de Pitágoras y la ley de los cosenos); aplica el teorema: en un triángulo, el lado mayor está opuesto al ángulo interior mayor;
3. reconoce polígonos regulares y usa sus propiedades básicas;
4. utiliza las propiedades de ángulos y diagonales en rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios;
5. utiliza las propiedades de los ángulos inscritos y centrales;
6. utiliza las fórmulas para el área de un sector de un círculo y la longitud del arco de un círculo;
7. aplica los teoremas: Tales, el inverso del teorema de Tales, el teorema de la bisectriz del ángulo y el ángulo entre la tangente y la cuerda;
8. usa criterios de semejanza de triángulos
9. usa relaciones entre perímetros y entre áreas de figuras similares;
10. indica los puntos básicos de interés en un triángulo: el centro de un círculo inscrito en un triángulo, el centro de un círculo que circunscribe un triángulo, ortocentro, centro de gravedad y utiliza sus propiedades;
11. usa funciones trigonométricas para determinar las longitudes de segmentos en figuras planas y para calcular las áreas de figuras;
12. realiza pruebas geométricas.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. usa las propiedades de los cuadriláteros inscritos en un círculo y circunscritos al círculo

Alcance básico.

El estudiante:

1. reconoce la posición mutua de las líneas en el plano en función de sus ecuaciones, incluida la búsqueda de un punto común de dos líneas, si lo hay;
2. usa las ecuaciones de líneas en el plano, en la forma pendiente-ordenada al origen y la forma general, incluyendo la ecuación de una línea recta con valores dados propiedades (como, por ejemplo, atravesar dos datos puntos, pendiente conocida, paralela o perpendicular a otra recta, tangente a una circunferencia);
3. calcula la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas;
4. usa la ecuación de un círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$;
5. calcula la distancia de un punto a una línea recta;
6. encuentra los puntos comunes de una línea y un círculo, así como una línea y una parábola que es un gráfico de una función cuadrática;

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. usa la ecuación de un círculo en forma general;
2. encuentra los puntos comunes de dos círculos;
3. conoce el concepto de vector y calcula sus coordenadas y longitud, suma vectores y multiplica un vector por un número, tanto analítica como geométricamente.

Alcance básico.

El estudiante:

1. reconoce la posición mutua de las líneas en el espacio, en particular las líneas perpendiculares que no se cruzan;
2. utiliza el concepto de ángulo entre una línea recta y un plano y el concepto de ángulo diedro entre semiplanos;
3. reconoce los ángulos entre segmentos en prismas y pirámides (por ejemplo, aristas, aristas y diagonales) y ángulos entre caras, calcula las medidas de estos ángulos;
4. reconoce en cilindros y conos el ángulo entre segmentos y el ángulo entre segmentos y planos (por ejemplo, ángulo de cono, ángulo entre generador y base), calcula las medidas de estos ángulos;
5. determina qué figura es una sección transversal dada de un orteodro con un plano;
6. calcula el volumen y el área superficial de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, utilizando también trigonometría y teoremas familiares;
7. utiliza la relación entre los volúmenes de sólidos semejantes.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. conoce y aplica el teorema de la recta perpendicular a un plano y el teorema de tres perpendiculares;
2. determina las secciones de un cubo y pirámides regulares, y calcula sus áreas, también usando trigonometría.

Alcance básico.

El estudiante:

1. cuenta objetos en situaciones combinatorias simples;
2. cuenta objetos usando las reglas de multiplicación y suma (también conjuntamente) para cualquier número de actividades en situaciones no más difíciles que:
   (a) cuántos números enteros positivos impares de cuatro dígitos existen tales que hay exactamente un 1 y exactamente un 2 en su notación decimal,
   (b) calcular cuántos números enteros incluso positivos de cuatro dígitos existen de modo que haya exactamente un 0 y exactamente un 1 en su notación decimal;

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. calcula el número de situaciones posibles que cumplen ciertos criterios, utilizando la regla de la multiplicación y la suma (también conjuntamente) y fórmulas para el número de: permutaciones, combinaciones y variaciones, también en los casos que requieren la consideración de un modelo complejo de elementos de conteo;
2. utiliza el coeficiente binomial (símbolo de Newton) y sus propiedades para resolver problemas combinatorios.

Alcance básico.

El estudiante:

1. calcula la probabilidad en el modelo clásico;
2. utiliza una escala de percentiles;
3. calcula la media aritmética y la media ponderada, encuentra la mediana y la moda;
4. calcula la desviación estándar de un conjunto de datos (también para correctamente agrupados), interpreta este parámetro para datos empiricos;
5. calcula el valor esperado, por ejemplo, al determinar la cantidad ganadora en juegos simples de azar y loterías.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. calcula la probabilidad condicional y aplica la fórmula de Bayes, aplica el teorema de probabilidad total en la práctica;
2. utiliza el esquema de Bernoulli.

Alcance básico.

El estudiante:

1. resuelve problemas de optimización en situaciones que pueden ser descritas por una función cuadrática.

Alcance extendido.

El estudiante cumple con los requisitos especificados para el alcance básico, y además

1. calcula los límites de las funciones (incluidas las unilaterales);
2. utiliza la propiedad de Darboux para justificar la existencia de un lugar el cero de la función y encontrar el valor aproximado del cero;
3. usa la definición de la derivada de una función, da la interpretación geométrica y física de la derivada;
4. calcula la derivada de una función potencia con exponente real y calcula la derivada utilizando los teoremas de la derivada de la suma, diferencia, producto, cociente y función compleja;
5. usa la derivada para estudiar la monotonicidad de las funciones;
6. Resuelve problemas de optimización usando la derivada.