Funkcje elementarne to funkcje zbudowane z funkcji podstawowych (wielomianowych, wymiernych, trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych) za pomocą działań arytmetycznych i składania. Poniżej przedstawiamy dowody ciągłości podstawowych funkcji elementarnych.
Twierdzenie (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu)
Jeśli funkcje $f$ i $g$ są ciągłe w punkcie $x_0$, to ciągłe w $x_0$ są również:
Twierdzenie (o ciągłości złożenia)
Jeśli funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i funkcja $g$ jest ciągła w punkcie $f(x_0)$, to złożenie $g \circ f$ jest ciągłe w punkcie $x_0$.
Twierdzenie
Funkcja stała $f(x) = c$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód:
Dla dowolnego $\varepsilon > 0$ i dowolnego $\delta > 0$ mamy:
$$|f(x) - f(x_0)| = |c - c| = 0 < \varepsilon$$
Warunek ciągłości jest spełniony dla każdego $x_0 \in \mathbb{R}$. $\square$
Twierdzenie
Funkcja tożsamościowa $f(x) = x$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód:
Dla dowolnego $\varepsilon > 0$ bierzemy $\delta = \varepsilon$. Wówczas:
$$|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| = |x - x_0| < \delta = \varepsilon$$
$\square$
Twierdzenie
Każda funkcja wielomianowa $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód:
Krok 1: Funkcja $f(x) = x^k$ jest ciągła dla każdego $k \in \mathbb{N}$.
Dowód indukcyjny:
Krok 2: Funkcja $f(x) = a \cdot x^k$ jest ciągła jako iloczyn funkcji stałej i $x^k$.
Krok 3: Wielomian $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ jest ciągły jako suma funkcji ciągłych. $\square$
Twierdzenie
Funkcja wymierna $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami, jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (tj. dla $x$ takich, że $Q(x) \neq 0$).
Dowód:
Wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$ są ciągłe na $\mathbb{R}$.
Z twierdzenia o ciągłości ilorazu, $\frac{P(x)}{Q(x)}$ jest ciągła w każdym punkcie, gdzie $Q(x) \neq 0$. $\square$
Twierdzenie
Funkcje $\sin x$ i $\cos x$ są ciągłe na $\mathbb{R}$.
Dowód ciągłości $\sin x$:
Korzystamy z tożsamości:
$$\sin x - \sin x_0 = 2 \cos\frac{x + x_0}{2} \sin\frac{x - x_0}{2}$$
Ponieważ $|\cos t| \leq 1$ i $|\sin t| \leq |t|$ dla wszystkich $t$, mamy:
$$|\sin x - \sin x_0| \leq 2 \cdot 1 \cdot \left|\frac{x - x_0}{2}\right| = |x - x_0|$$
Dla $\varepsilon > 0$ bierzemy $\delta = \varepsilon$. Wówczas:
$$|x - x_0| < \delta \Rightarrow |\sin x - \sin x_0| \leq |x - x_0| < \varepsilon$$
$\square$
Dowód ciągłości $\cos x$:
Korzystamy z tożsamości:
$$\cos x - \cos x_0 = -2 \sin\frac{x + x_0}{2} \sin\frac{x - x_0}{2}$$
Analogicznie:
$$|\cos x - \cos x_0| \leq 2 \cdot 1 \cdot \left|\frac{x - x_0}{2}\right| = |x - x_0|$$
Dla $\varepsilon > 0$ bierzemy $\delta = \varepsilon$. $\square$
Twierdzenie
Funkcje $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$ są ciągłe w swoich dziedzinach.
Dowód:
Wynika to z twierdzenia o ciągłości ilorazu funkcji ciągłych. $\square$
Twierdzenie
Funkcja wykładnicza $f(x) = a^x$ (dla $a > 0$, $a \neq 1$) jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód:
Krok 1: Pokażemy ciągłość w punkcie $x_0 = 0$, tj. $\lim\limits_{x \to 0} a^x = 1$.
Dla $a > 1$: z nierówności Bernoulliego dla $n > \frac{1}{|x|}$:
$$1 < a^{1/n} < 1 + \frac{a-1}{n}$$
Stąd $a^{1/n} \to 1$ gdy $n \to \infty$, więc $a^x \to 1$ gdy $x \to 0$.
Krok 2: Ciągłość w dowolnym punkcie $x_0$.
$$\lim\limits_{x \to x_0} a^x = \lim\limits_{h \to 0} a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot \lim\limits_{h \to 0} a^h = a^{x_0} \cdot 1 = a^{x_0}$$
$\square$
Wniosek: Funkcja $e^x$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Twierdzenie
Funkcja logarytmiczna $f(x) = \log_a x$ (dla $a > 0$, $a \neq 1$) jest ciągła na $(0, +\infty)$.
Dowód:
Funkcja $\log_a x$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej $a^x$.
Funkcja $a^x$ jest ciągła i ściśle monotoniczna na $\mathbb{R}$.
Z twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej: funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i ściśle monotonicznej jest ciągła.
Zatem $\log_a x$ jest ciągła na $(0, +\infty)$. $\square$
Wniosek: Funkcja $\ln x$ jest ciągła na $(0, +\infty)$.
Twierdzenie
Funkcja potęgowa $f(x) = x^\alpha$ (dla $\alpha \in \mathbb{R}$) jest ciągła na swojej dziedzinie.
Dowód:
Dla $x > 0$ mamy $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$.
Jest to złożenie funkcji ciągłych:
Z twierdzenia o ciągłości złożenia, $x^\alpha$ jest ciągła na $(0, +\infty)$. $\square$
Twierdzenie
Funkcje $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$, $\text{arccot}\ x$ są ciągłe na swoich dziedzinach.
Dowód:
Funkcje te są funkcjami odwrotnymi do odpowiednich funkcji trygonometrycznych ograniczonych do przedziałów, na których są ściśle monotoniczne:
Funkcje trygonometryczne są ciągłe i ściśle monotoniczne na tych przedziałach.
Z twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej, funkcje cyklometryczne są ciągłe. $\square$
Funkcje elementarne ciągłe na swoich dziedzinach:
| Funkcja | Dziedzina ciągłości |
|---|---|
| $c$ (stała) | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\mathbb{R}$ |
| Wielomian $P(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\frac{P(x)}{Q(x)}$ | $\{x: Q(x) \neq 0\}$ |
| $\sin x$, $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$ |
| $a^x$ ($a > 0$) | $\mathbb{R}$ |
| $\log_a x$ ($a > 0$, $a \neq 1$) | $(0, +\infty)$ |
| $x^\alpha$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) | $(0, +\infty)$ |
| $\arcsin x$, $\arccos x$ | $[-1, 1]$ |
| $\arctan x$ | $\mathbb{R}$ |
Wniosek ogólny
Każda funkcja elementarna jest ciągła na swojej dziedzinie naturalnej.