T63. Twierdzenie Bolzano (Własność Darboux)

Twierdzenie Bolzano, znane również jako twierdzenie o wartości pośredniej lub własność Darboux, jest jednym z fundamentalnych twierdzeń analizy matematycznej dotyczących funkcji ciągłych.

Twierdzenie Bolzano

Twierdzenie (Bolzano, 1817)
Niech funkcja $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ będzie ciągła na przedziale domkniętym $[a, b]$ i niech $f(a) \cdot f(b) < 0$ (czyli $f(a)$ i $f(b)$ mają różne znaki).

Wówczas istnieje punkt $c \in (a, b)$ taki, że $f(c) = 0$.

Interpretacja geometryczna: Jeśli wykres funkcji ciągłej na przedziale $[a, b]$ znajduje się po jednej stronie osi $OX$ w punkcie $a$ i po drugiej stronie w punkcie $b$, to wykres musi przeciąć oś $OX$ w pewnym punkcie wewnętrznym przedziału.

Dowód twierdzenia Bolzano

Dowód (metodą bisekcji)

Bez straty ogólności załóżmy, że $f(a) < 0$ i $f(b) > 0$.
(Przypadek $f(a) > 0$ i $f(b) < 0$ dowodzi się analogicznie.)

Konstrukcja ciągu przedziałów:

Definiujemy ciąg przedziałów $[a_n, b_n]$ w następujący sposób:

$[a_0, b_0] = [a, b]$
Dla $n \geq 0$: niech $c_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ (środek przedziału)

Rozważamy trzy przypadki:

Jeśli $f(c_n) = 0$, to $c = c_n$ i dowód jest zakończony.
Jeśli $f(c_n) < 0$, to przyjmujemy $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [c_n, b_n]$.
Jeśli $f(c_n) > 0$, to przyjmujemy $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, c_n]$.

Własności ciągu przedziałów:

$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$ dla każdego $n$ (przedziały zstępujące)
$f(a_n) < 0$ i $f(b_n) > 0$ dla każdego $n$
$b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \to 0$ gdy $n \to \infty$

Zastosowanie aksjomatu Cantora:

Z aksjomatu Cantora o przedziałach zstępujących wynika, że istnieje dokładnie jeden punkt $c$ należący do wszystkich przedziałów:

$$\{c\} = \bigcap_{n=0}^{\infty} [a_n, b_n]$$

Ponadto:

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = c$
$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = c$

Wykazanie, że $f(c) = 0$:

Z ciągłości funkcji $f$ w punkcie $c$ mamy:

$f(c) = \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \leq 0$ (bo $f(a_n) < 0$ dla każdego $n$)
$f(c) = \lim\limits_{n \to \infty} f(b_n) \geq 0$ (bo $f(b_n) > 0$ dla każdego $n$)

Stąd $f(c) \leq 0$ i $f(c) \geq 0$, więc $f(c) = 0$. $\square$

Uogólnienie - Własność Darboux

Twierdzenie (o wartości pośredniej)
Niech funkcja $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ będzie ciągła na przedziale domkniętym $[a, b]$.

Wówczas dla każdej wartości $y$ leżącej między $f(a)$ i $f(b)$ istnieje punkt $c \in [a, b]$ taki, że $f(c) = y$.

Formalnie: jeśli $\min\{f(a), f(b)\} < y < \max\{f(a), f(b)\}$, to $\exists c \in (a, b): f(c) = y$.

Dowód uogólnienia:

Definiujemy funkcję pomocniczą $g(x) = f(x) - y$.

Funkcja $g$ jest ciągła na $[a, b]$ jako różnica funkcji ciągłych.

Ponadto:

$g(a) = f(a) - y$ i $g(b) = f(b) - y$
Skoro $y$ leży między $f(a)$ i $f(b)$, to $g(a)$ i $g(b)$ mają różne znaki

Z twierdzenia Bolzano istnieje $c \in (a, b)$ takie, że $g(c) = 0$, czyli $f(c) = y$. $\square$

Wnioski

Wniosek 1
Obraz przedziału przez funkcję ciągłą jest przedziałem.

Jeśli $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ jest ciągła, to $f([a, b])$ jest przedziałem.

Wniosek 2
Jeśli funkcja ciągła $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ jest różnowartościowa, to jest ściśle monotoniczna.

Wniosek 3 (istnienie pierwiastków)
Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to każdy wielomian stopnia $n$ ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przykłady zastosowań

Przykład 1: Wykazać, że równanie $x^3 - x - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(1, 2)$.

Rozwiązanie: Niech $f(x) = x^3 - x - 1$. Funkcja $f$ jest ciągła (wielomian).

$f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$
$f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$

Z twierdzenia Bolzano istnieje $c \in (1, 2)$ takie, że $f(c) = 0$.

Przykład 2: Wykazać, że równanie $\cos x = x$ ma rozwiązanie.

Rozwiązanie: Niech $f(x) = \cos x - x$. Funkcja $f$ jest ciągła.

$f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} < 0$

Z twierdzenia Bolzano istnieje $c \in (0, \frac{\pi}{2})$ takie, że $\cos c = c$.

Przykład 3: Wykazać, że istnieje $\sqrt{2}$, czyli liczba $c > 0$ taka, że $c^2 = 2$.

Rozwiązanie: Niech $f(x) = x^2 - 2$. Funkcja $f$ jest ciągła.

$f(1) = 1 - 2 = -1 < 0$
$f(2) = 4 - 2 = 2 > 0$

Z twierdzenia Bolzano istnieje $c \in (1, 2)$ takie, że $c^2 = 2$.