Twierdzenia o ciągłości funkcji złożonej i funkcji odwrotnej są kluczowymi narzędziami pozwalającymi budować nowe funkcje ciągłe z funkcji już znanych.
Niech $f: D_f \to \mathbb{R}$ i $g: D_g \to \mathbb{R}$ będą funkcjami takimi, że $f(D_f) \subseteq D_g$.
Złożenie funkcji $g \circ f: D_f \to \mathbb{R}$ definiujemy wzorem: \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)). \]
Niech $f: D_f \to \mathbb{R}$ będzie ciągła w punkcie $x_0 \in D_f$ i niech $g: D_g \to \mathbb{R}$ będzie ciągła w punkcie $f(x_0) \in D_g$.
Wtedy funkcja złożona $g \circ f$ jest ciągła w punkcie $x_0$.
Niech $(x_n) \subset D_f$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to x_0$.
Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, mamy: \[ f(x_n) \to f(x_0). \]
Oznaczmy $y_n = f(x_n)$ i $y_0 = f(x_0)$. Wtedy $y_n \to y_0$ i $(y_n) \subset D_g$.
Ponieważ $g$ jest ciągła w $y_0 = f(x_0)$, mamy: \[ g(y_n) \to g(y_0). \]
Zatem: \[ (g \circ f)(x_n) = g(f(x_n)) = g(y_n) \to g(y_0) = g(f(x_0)) = (g \circ f)(x_0). \]
Czyli $g \circ f$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Niech $\varepsilon \gt 0$ będzie dowolne.
Krok 1: Ponieważ $g$ jest ciągła w $f(x_0)$, istnieje $\eta \gt 0$ takie, że: \[ |y - f(x_0)| \lt \eta \Rightarrow |g(y) - g(f(x_0))| \lt \varepsilon. \]
Krok 2: Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, dla $\eta \gt 0$ istnieje $\delta \gt 0$ takie, że: \[ |x - x_0| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \lt \eta. \]
Krok 3: Łącząc oba warunki: dla $|x - x_0| \lt \delta$ mamy $|f(x) - f(x_0)| \lt \eta$, a więc $|g(f(x)) - g(f(x_0))| \lt \varepsilon$.
Zatem: \[ |x - x_0| \lt \delta \Rightarrow |(g \circ f)(x) - (g \circ f)(x_0)| \lt \varepsilon. \]
Czyli $g \circ f$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Funkcja $h(x) = \sin(x^2)$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód: $h = g \circ f$, gdzie $f(x) = x^2$ (ciągła) i $g(y) = \sin y$ (ciągła).
Funkcja $h(x) = e^{\cos x}$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód: $h = g \circ f$, gdzie $f(x) = \cos x$ (ciągła) i $g(y) = e^y$ (ciągła).
Funkcja $h(x) = \sqrt{1 + x^2}$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód: $h = g \circ f$, gdzie $f(x) = 1 + x^2$ (ciągła, $f(x) \gt 0$) i $g(y) = \sqrt{y}$ (ciągła dla $y \gt 0$).
Funkcja $h(x) = \ln(\sin x)$ jest ciągła na $(0, \pi)$.
Dowód: $h = g \circ f$, gdzie $f(x) = \sin x$ (ciągła, $f(x) \gt 0$ dla $x \in (0, \pi)$) i $g(y) = \ln y$ (ciągła dla $y \gt 0$).
Funkcja $f: D \to \mathbb{R}$ jest odwracalna, jeśli jest różnowartościowa (injektywna).
Wtedy istnieje funkcja odwrotna $f^{-1}: f(D) \to D$ taka, że: \[ f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{dla } x \in D, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{dla } y \in f(D). \]
Niech $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną na przedziale $[a, b]$.
Wtedy:
Funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa:
Jeśli $f$ jest ściśle rosnąca i $x_1 \neq x_2$, to $x_1 \lt x_2$ lub $x_2 \lt x_1$, więc $f(x_1) \lt f(x_2)$ lub $f(x_2) \lt f(x_1)$, czyli $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Z twierdzenia Darboux (o wartości pośredniej), obraz funkcji ciągłej na przedziale domkniętym jest przedziałem domkniętym.
Jeśli $f$ jest ściśle rosnąca: $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Jeśli $f$ jest ściśle malejąca: $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
Jeśli $f$ jest ściśle rosnąca, to $f^{-1}$ jest również ściśle rosnąca:
Niech $y_1 \lt y_2$ i niech $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$.
Gdyby $x_1 \geq x_2$, to $f(x_1) \geq f(x_2)$ (bo $f$ rosnąca), czyli $y_1 \geq y_2$ — sprzeczność.
Zatem $x_1 \lt x_2$, czyli $f^{-1}(y_1) \lt f^{-1}(y_2)$.
Pokażemy, że $f^{-1}$ jest ciągła w dowolnym punkcie $y_0 \in [c, d]$.
Niech $x_0 = f^{-1}(y_0)$ i niech $(y_n) \subset [c, d]$ będzie ciągiem takim, że $y_n \to y_0$.
Oznaczmy $x_n = f^{-1}(y_n)$. Chcemy pokazać, że $x_n \to x_0$.
Metoda: Pokażemy, że każdy podciąg $(x_{n_k})$ ma podciąg zbieżny do $x_0$.
Ciąg $(x_n) \subset [a, b]$ jest ograniczony. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, każdy podciąg ma podciąg zbieżny.
Niech $(x_{n_k})$ będzie podciągiem zbieżnym do pewnego $x^* \in [a, b]$.
Ponieważ $f$ jest ciągła: \[ f(x_{n_k}) \to f(x^*). \]
Ale $f(x_{n_k}) = y_{n_k} \to y_0$ (bo $(y_{n_k})$ jest podciągiem $(y_n)$).
Z jednoznaczności granicy: $f(x^*) = y_0$, czyli $x^* = f^{-1}(y_0) = x_0$.
Zatem każdy podciąg zbieżny ciągu $(x_n)$ jest zbieżny do $x_0$.
Stąd cały ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do $x_0$, czyli $f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)$. $\square$
Twierdzenie wymaga, aby dziedzina $f$ była przedziałem. Dla funkcji określonych na zbiorach niespójnych, funkcja odwrotna może nie być ciągła.
Kontrprzykład: Niech $f: [0, 1] \cup [2, 3] \to \mathbb{R}$ będzie zdefiniowana jako: \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in [0, 1] \\ x - 1 & \text{dla } x \in [2, 3] \end{cases} \]
Wtedy $f$ jest ciągła i różnowartościowa, ale $f^{-1}$ nie jest ciągła (ma skok w punkcie $1$).
Funkcja $f(x) = e^x$ jest ciągła i ściśle rosnąca na $\mathbb{R}$.
Funkcja odwrotna $f^{-1}(y) = \ln y$ jest ciągła na $(0, +\infty)$.
Funkcja $f(x) = x^2$ jest ciągła i ściśle rosnąca na $[0, +\infty)$.
Funkcja odwrotna $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ jest ciągła na $[0, +\infty)$.
Funkcja $f(x) = \sin x$ jest ciągła i ściśle rosnąca na $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Funkcja odwrotna $f^{-1}(y) = \arcsin y$ jest ciągła na $[-1, 1]$.
Funkcja $f(x) = \tan x$ jest ciągła i ściśle rosnąca na $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Funkcja odwrotna $f^{-1}(y) = \arctan y$ jest ciągła na $\mathbb{R}$.
Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej pozostaje prawdziwe dla funkcji ciągłych i ściśle monotonicznych na przedziałach otwartych $(a, b)$, półotwartych $[a, b)$, $(a, b]$, a także na przedziałach nieograniczonych $[a, +\infty)$, $(-\infty, b]$, $\mathbb{R}$.