Twierdzenia o ciągłości działań arytmetycznych na funkcjach ciągłych są fundamentalnymi narzędziami w analizie matematycznej. Pozwalają budować nowe funkcje ciągłe z funkcji już znanych.
Funkcja $f: D \to \mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in D$, jeśli: \[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]
Równoważnie (definicja Heinego): dla każdego ciągu $(x_n) \subset D$ takiego, że $x_n \to x_0$, zachodzi $f(x_n) \to f(x_0)$.
Jeśli funkcje $f, g: D \to \mathbb{R}$ są ciągłe w punkcie $x_0 \in D$, to funkcja $f + g$ jest ciągła w punkcie $x_0$.
Niech $(x_n) \subset D$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to x_0$.
Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, mamy $f(x_n) \to f(x_0)$.
Ponieważ $g$ jest ciągła w $x_0$, mamy $g(x_n) \to g(x_0)$.
Z twierdzenia o granicy sumy ciągów: \[ (f + g)(x_n) = f(x_n) + g(x_n) \to f(x_0) + g(x_0) = (f + g)(x_0). \]
Zatem $f + g$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Jeśli funkcje $f, g: D \to \mathbb{R}$ są ciągłe w punkcie $x_0 \in D$, to funkcja $f - g$ jest ciągła w punkcie $x_0$.
Niech $(x_n) \subset D$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to x_0$.
Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, mamy $f(x_n) \to f(x_0)$.
Ponieważ $g$ jest ciągła w $x_0$, mamy $g(x_n) \to g(x_0)$.
Z twierdzenia o granicy różnicy ciągów: \[ (f - g)(x_n) = f(x_n) - g(x_n) \to f(x_0) - g(x_0) = (f - g)(x_0). \]
Zatem $f - g$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Jeśli funkcje $f, g: D \to \mathbb{R}$ są ciągłe w punkcie $x_0 \in D$, to funkcja $f \cdot g$ jest ciągła w punkcie $x_0$.
Niech $(x_n) \subset D$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to x_0$.
Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, mamy $f(x_n) \to f(x_0)$.
Ponieważ $g$ jest ciągła w $x_0$, mamy $g(x_n) \to g(x_0)$.
Z twierdzenia o granicy iloczynu ciągów: \[ (f \cdot g)(x_n) = f(x_n) \cdot g(x_n) \to f(x_0) \cdot g(x_0) = (f \cdot g)(x_0). \]
Zatem $f \cdot g$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Jeśli funkcje $f, g: D \to \mathbb{R}$ są ciągłe w punkcie $x_0 \in D$ i $g(x_0) \neq 0$, to funkcja $\frac{f}{g}$ jest ciągła w punkcie $x_0$.
Niech $(x_n) \subset D$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \to x_0$.
Ponieważ $f$ jest ciągła w $x_0$, mamy $f(x_n) \to f(x_0)$.
Ponieważ $g$ jest ciągła w $x_0$, mamy $g(x_n) \to g(x_0)$.
Ponieważ $g(x_0) \neq 0$ i $g(x_n) \to g(x_0)$, dla dostatecznie dużych $n$ mamy $g(x_n) \neq 0$ (z twierdzenia o zachowaniu znaku granicy).
Z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów: \[ \frac{f}{g}(x_n) = \frac{f(x_n)}{g(x_n)} \to \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \frac{f}{g}(x_0). \]
Zatem $\frac{f}{g}$ jest ciągła w $x_0$. $\square$
Funkcja $\frac{f}{g}$ jest określona na zbiorze $\{x \in D : g(x) \neq 0\}$.
Twierdzenie mówi, że jeśli $g(x_0) \neq 0$, to $\frac{f}{g}$ jest ciągła w $x_0$.
Jeśli $g(x_0) = 0$, to $x_0$ nie należy do dziedziny $\frac{f}{g}$ i pytanie o ciągłość w tym punkcie nie ma sensu.
Jeśli $f: D \to \mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i $c \in \mathbb{R}$, to funkcja $c \cdot f$ jest ciągła w $x_0$.
Dowód: Wynika z ciągłości iloczynu, gdzie $g(x) = c$ (funkcja stała jest ciągła).
Twierdzenie: Każda funkcja wymierna $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami, jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (tj. tam, gdzie $Q(x) \neq 0$).
Krok 1: Funkcja stała $f(x) = c$ jest ciągła (oczywiste z definicji).
Krok 2: Funkcja tożsamościowa $f(x) = x$ jest ciągła.
Dowód: Dla $x_n \to x_0$ mamy $f(x_n) = x_n \to x_0 = f(x_0)$.
Krok 3: Każdy jednomian $f(x) = x^n$ jest ciągły (jako iloczyn funkcji ciągłych).
Krok 4: Każdy wielomian $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ jest ciągły (jako suma i iloczyn funkcji ciągłych przez stałe).
Krok 5: Funkcja wymierna $\frac{P(x)}{Q(x)}$ jest ciągła tam, gdzie $Q(x) \neq 0$ (z twierdzenia o ciągłości ilorazu). $\square$
Funkcja $f(x) = x^2 + 3x - 5$ jest ciągła na całym $\mathbb{R}$ (wielomian).
Funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ jest ciągła na $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Uwaga: Dla $x \neq 1$ mamy $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$, więc $f$ można przedłużyć do funkcji ciągłej na całym $\mathbb{R}$, definiując $f(1) = 2$.
Funkcja $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ jest ciągła na całym $\mathbb{R}$ (mianownik nigdy nie zeruje się).
Funkcja $f(x) = \sin x + \cos x$ jest ciągła na $\mathbb{R}$ (suma funkcji ciągłych).
Funkcja $f(x) = e^x \cdot \sin x$ jest ciągła na $\mathbb{R}$ (iloczyn funkcji ciągłych).
Można również udowodnić te twierdzenia bezpośrednio z definicji Cauchy'ego ($\varepsilon$-$\delta$).
Przykład dla sumy: Niech $\varepsilon \gt 0$. Ponieważ $f$ i $g$ są ciągłe w $x_0$, istnieją $\delta_1, \delta_2 \gt 0$ takie, że:
Niech $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Wtedy dla $|x - x_0| \lt \delta$: \[ |(f+g)(x) - (f+g)(x_0)| = |f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)| \leq |f(x) - f(x_0)| + |g(x) - g(x_0)| \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]