Funkcja może być nieciągła w punkcie na różne sposoby. Klasyfikacja nieciągłości opiera się na istnieniu i wartościach granic jednostronnych.
Definicja
Funkcja $f: D \to \mathbb{R}$ jest nieciągła w punkcie $x_0 \in D$ (będącym punktem skupienia $D$), jeśli nie jest ciągła w tym punkcie, czyli:
$$\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x \in D:\ |x - x_0| < \delta \land |f(x) - f(x_0)| \geq \varepsilon$$
lub równoważnie (Heine): istnieje ciąg $(x_n) \to x_0$ taki, że $(f(x_n))$ nie zbiega do $f(x_0)$.
Nieciągłości dzielimy na dwa główne rodzaje:
Definicja
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości I rodzaju funkcji $f$, jeśli istnieją obie granice jednostronne:
$$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0^-) \in \mathbb{R} \quad \text{oraz} \quad \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+) \in \mathbb{R}$$
ale funkcja nie jest ciągła w $x_0$.
Nieciągłość I rodzaju dzieli się na dwa podtypy:
Definicja
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości usuwalnej funkcji $f$, jeśli:
$$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g \neq f(x_0)$$
lub funkcja nie jest określona w $x_0$, ale granica $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ istnieje.
Interpretacja: Obie granice jednostronne są równe, ale różne od wartości funkcji (lub funkcja nie jest określona w tym punkcie).
Usuwalność: Można "usunąć" nieciągłość definiując $\tilde{f}(x_0) = g$. Wówczas $\tilde{f}$ jest ciągła w $x_0$.
Przykład 1:
$$f(x) = \frac{\sin x}{x} \quad \text{dla } x \neq 0$$
Funkcja nie jest określona w $x_0 = 0$, ale:
$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
Definiując $f(0) = 1$, otrzymujemy funkcję ciągłą w $0$.
Przykład 2:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{dla } x \neq 1 \\ 5 & \text{dla } x = 1 \end{cases}$$
Mamy $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 1 \neq 5 = f(1)$.
Nieciągłość usuwalna w $x_0 = 1$.
Definicja
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości skokowej (lub skokiem) funkcji $f$, jeśli:
$$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$$
przy czym obie granice istnieją i są skończone.
Definicja (wielkość skoku)
Skok funkcji $f$ w punkcie $x_0$ definiujemy jako:
$$s(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) - \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0^+) - f(x_0^-)$$
Interpretacja: Wykres funkcji ma "skok" w punkcie $x_0$ - granice lewostronna i prawostronna są różne.
Uwaga: Nieciągłości skokowej nie można usunąć przez przedefiniowanie wartości w jednym punkcie.
Przykład 3: Funkcja signum
$$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x > 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \\ -1 & \text{dla } x < 0 \end{cases}$$
Granice jednostronne:
Skok: $s(0) = 1 - (-1) = 2$
Przykład 4: Funkcja cecha (część całkowita)
$$\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z}: n \leq x\}$$
Dla każdego $n \in \mathbb{Z}$:
Skok: $s(n) = n - (n-1) = 1$ dla każdego $n \in \mathbb{Z}$
Definicja
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości II rodzaju funkcji $f$, jeśli co najmniej jedna z granic jednostronnych:
Interpretacja: Funkcja zachowuje się "dziko" w otoczeniu punktu $x_0$ - oscyluje, dąży do nieskończoności lub nie ma określonego zachowania.
Przykład 5: Granica nieskończona (asymptota pionowa)
$$f(x) = \frac{1}{x}$$
Nieciągłość II rodzaju w $x_0 = 0$ (granice nieskończone).
Przykład 6: Granica nie istnieje (oscylacja)
$$f(x) = \sin\frac{1}{x} \quad \text{dla } x \neq 0$$
Granica $\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ nie istnieje - funkcja oscyluje między $-1$ a $1$ nieskończenie wiele razy w każdym otoczeniu zera.
Nieciągłość II rodzaju w $x_0 = 0$.
Przykład 7: Funkcja Dirichleta
$$D(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{dla } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
W każdym punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$ żadna z granic jednostronnych nie istnieje.
Nieciągłość II rodzaju w każdym punkcie.
Schemat klasyfikacji nieciągłości:
| Rodzaj | Warunek | Usuwalność |
|---|---|---|
| Usuwalna (I rodzaju) | $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g \neq f(x_0)$ | Tak |
| Skokowa (I rodzaju) | $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$, obie skończone | Nie |
| II rodzaju | Co najmniej jedna granica jednostronna nie istnieje lub jest $\pm\infty$ | Nie |
Twierdzenie
Jeśli funkcja $f$ jest monotoniczna na przedziale $(a, b)$, to wszystkie jej punkty nieciągłości są nieciągłościami I rodzaju (skokami).
Twierdzenie
Zbiór punktów nieciągłości I rodzaju funkcji monotonicznej jest co najwyżej przeliczalny.