Niech $f: D \to \mathbb{R}$, gdzie $D \subseteq \mathbb{R}$, oraz niech $x_0 \in D$ będzie punktem skupienia zbioru $D$.
Definicja (Cauchy'ego - $\varepsilon$-$\delta$)
Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D:\ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$$
Definicja (Heinego - ciągowa)
Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)$ elementów zbioru $D$ zbieżnego do $x_0$, ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $f(x_0)$:
$$\forall (x_n) \subseteq D:\ \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$$
Uwaga: Definicje Cauchy'ego i Heinego są równoważne.
Definicja (przez granicę)
Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Równoważnie: granica funkcji w punkcie $x_0$ istnieje i jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
Definicja (ciągłość prawostronna)
Funkcja $f$ jest ciągła prawostronnie w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$
czyli: $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D:\ 0 \leq x - x_0 < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
Definicja (ciągłość lewostronna)
Funkcja $f$ jest ciągła lewostronnie w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$
czyli: $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D:\ 0 \leq x_0 - x < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
Twierdzenie: Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła prawostronnie i lewostronnie w $x_0$.
Definicja
Funkcja $f: D \to \mathbb{R}$ jest ciągła w zbiorze $A \subseteq D$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru $A$:
$$\forall x_0 \in A:\ f \text{ jest ciągła w } x_0$$
Definicja (funkcja ciągła)
Funkcja $f: D \to \mathbb{R}$ jest ciągła (lub: ciągła na całej dziedzinie) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny $D$.
Dla funkcji $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ określonej na przedziale domkniętym:
Mówimy, że $f$ jest ciągła na przedziale $[a, b]$, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $(a, b)$, ciągła prawostronnie w $a$ i ciągła lewostronnie w $b$.
Definicja
Funkcja $f$ jest nieciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest ciągła w tym punkcie, czyli:
$$\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x \in D:\ |x - x_0| < \delta \land |f(x) - f(x_0)| \geq \varepsilon$$
Nieciągłość usuwalna (I rodzaju)
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości usuwalnej funkcji $f$, jeśli istnieje granica $\lim_{x \to x_0} f(x)$, ale jest różna od $f(x_0)$ lub $f$ nie jest określona w $x_0$.
Nieciągłość można „usunąć" definiując $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.
Nieciągłość skokowa (I rodzaju)
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości skokowej funkcji $f$, jeśli istnieją obie granice jednostronne $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ i $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, ale są różne.
Skok funkcji w punkcie $x_0$: $s(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)$
Nieciągłość II rodzaju
Punkt $x_0$ jest punktem nieciągłości II rodzaju funkcji $f$, jeśli co najmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje (jest nieskończona lub nie istnieje w ogóle).
Funkcje ciągłe:
Przykład nieciągłości usuwalnej:
$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ dla $x \neq 0$
Granica $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ istnieje, ale $f(0)$ nie jest określone.
Przykład nieciągłości skokowej:
$f(x) = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x > 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \\ -1 & \text{dla } x < 0 \end{cases}$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$, skok $= 2$.
Przykład nieciągłości II rodzaju:
$f(x) = \sin\frac{1}{x}$ dla $x \neq 0$
Granica $\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ nie istnieje (funkcja oscyluje).