T58. Wyrażenia nieoznaczone
1. Czym jest wyrażenie nieoznaczone?
Wyrażenie nieoznaczone (symbol nieoznaczony) to sytuacja, w której
sama znajomość granic składników nie wystarcza do wyznaczenia granicy całego wyrażenia.
Wynik zależy od konkretnych funkcji (ciągów) — ten sam „typ" może dawać
dowolną wartość skończoną, $+\infty$, $-\infty$ lub granica może nie istnieć.
Wyróżniamy 7 klasycznych symboli nieoznaczonych:
\[
\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad
0^0, \quad 1^\infty, \quad \infty^0.
\]
2. Symbol $\frac{0}{0}$
Sytuacja: $f(x) \to 0$ i $g(x) \to 0$. Granica $\frac{f(x)}{g(x)}$ może być dowolna.
Przykłady ciągów
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/n} = 1$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{5/n}{1/n} = 5$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1/n^2}{1/n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/n^2} = \lim\limits_{n \to \infty} n = +\infty$
Przykłady funkcji
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5$
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = $ nie istnieje (bo $\frac{1}{x^2} \to +\infty$)
- $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1}(x+1) = 2$
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Wniosek: ten sam typ $\frac{0}{0}$ daje wyniki $0, \frac{1}{2}, 1, 2, 5, +\infty$.
3. Symbol $\frac{\infty}{\infty}$
Sytuacja: $f(x) \to \infty$ i $g(x) \to \infty$.
Przykłady ciągów
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n}{n} = 3$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = 0$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} = +\infty$
Przykłady funkcji
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 - 5} = \frac{3}{2}$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = 0$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
Wniosek: wyniki: $0, \frac{3}{2}, +\infty$.
4. Symbol $0 \cdot \infty$
Sytuacja: $f(x) \to 0$ i $g(x) \to \infty$.
Przykłady ciągów
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = 1$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \cdot n = 0$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n^2 = +\infty$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{7}{n} \cdot n = 7$
Przykłady funkcji
- $\lim\limits_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0$ (po sprowadzeniu do $\frac{\ln x}{1/x}$ typu $\frac{\infty}{\infty}$)
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot x^2 = +\infty$
- $\lim\limits_{x \to 0^+} x \cdot \frac{1}{x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \cot x = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$
Wniosek: wyniki: $0, 1, 7, +\infty$.
5. Symbol $\infty - \infty$
Sytuacja: $f(x) \to +\infty$ i $g(x) \to +\infty$.
Przykłady ciągów
- $\lim\limits_{n \to \infty} (n + 5 - n) = 5$
- $\lim\limits_{n \to \infty} (n^2 - n) = +\infty$
- $\lim\limits_{n \to \infty} (n - n^2) = -\infty$
- $\lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n) = \frac{1}{2}$
Przykłady funkcji
- $\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = \frac{1}{2}$ (mnożenie przez sprzężenie)
- $\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - x) = 2$
- $\lim\limits_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}\right) = 0$
- $\lim\limits_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) = -\infty$
Wniosek: wyniki: $-\infty, 0, \frac{1}{2}, 2, 5, +\infty$.
6. Symbol $0^0$
Sytuacja: $f(x) \to 0^+$ i $g(x) \to 0$.
Stosujemy: $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$, sprowadzając do $0 \cdot \infty$.
Przykłady
- $\lim\limits_{x \to 0^+} x^x = \lim\limits_{x \to 0^+} e^{x \ln x} = e^0 = 1$ (bo $x\ln x \to 0$)
- $\lim\limits_{x \to 0^+} x^{x^2} = e^{x^2 \ln x} \to e^0 = 1$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n} = e^{-\frac{\ln n}{n}} \to e^0 = 1$
- $\lim\limits_{x \to 0^+} x^{1/\ln x} = e^{\frac{\ln x}{\ln x}} = e^1 = e$
- $\lim\limits_{x \to 0^+} (e^{-1/x})^x = e^{-x/x} = e^{-1} = \frac{1}{e}$
Wniosek: wyniki: $\frac{1}{e}, 1, e$.
7. Symbol $1^\infty$
Sytuacja: $f(x) \to 1$ i $g(x) \to \infty$.
Stosujemy: $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$, a $\ln f(x) \to 0$, więc mamy $0 \cdot \infty$.
Przykłady ciągów
- $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^n = e^0 = 1$ (bo $n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$)
- $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n = +\infty$ (bo $n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} \to +\infty$)
Przykłady funkcji
- $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
- $\lim\limits_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x} = e^3$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x = e^2$
Wniosek: wyniki: $1, e, e^2, e^3, +\infty$.
8. Symbol $\infty^0$
Sytuacja: $f(x) \to +\infty$ i $g(x) \to 0$.
Stosujemy: $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$, a $\ln f(x) \to +\infty$, więc mamy $0 \cdot \infty$.
Przykłady
- $\lim\limits_{n \to \infty} n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} \to e^0 = 1$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{1/x} = 1$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{1/\ln x} = e^{\frac{\ln x}{\ln x}} = e^1 = e$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2/\ln x} = e^{\frac{2\ln x}{\ln x}} = e^2$
- $\lim\limits_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2} = e^{\frac{\ln(n!)}{n^2}} \to e^0 = 1$ (bo $\frac{\ln(n!)}{n^2} \to 0$)
Wniosek: wyniki: $1, e, e^2$.
9. Metody obliczania granic z wyrażeniami nieoznaczonymi
- Upraszczanie algebraiczne — skracanie, mnożenie przez sprzężenie, rozkład na czynniki.
- Sprowadzenie do $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ — np. $0 \cdot \infty = \frac{0}{1/\infty} = \frac{0}{0}$.
- Reguła de l'Hôpitala — dla $\frac{0}{0}$ i $\frac{\infty}{\infty}$:
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$ (jeśli prawa strona istnieje).
- Logarytmowanie — dla $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$:
$f^g = e^{g \ln f}$, obliczamy $\lim g \ln f$.
- Podstawienia — np. $t = 1/x$, $t = e^x - 1$ itp.
- Granice znane — $\frac{\sin x}{x} \to 1$, $(1+x)^{1/x} \to e$, $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$, $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$.
- Twierdzenie o trzech ciągach/funkcjach — oszacowanie z dwóch stron.
10. Tabela podsumowująca
| Symbol |
Typ |
Przykłady wyników |
| $\frac{0}{0}$ |
$\frac{f}{g}$, $f \to 0$, $g \to 0$ |
$0,\; \frac{1}{2},\; 1,\; 2,\; 5,\; +\infty$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ |
$\frac{f}{g}$, $f \to \infty$, $g \to \infty$ |
$0,\; \frac{3}{2},\; +\infty$ |
| $0 \cdot \infty$ |
$f \cdot g$, $f \to 0$, $g \to \infty$ |
$0,\; 1,\; 7,\; +\infty$ |
| $\infty - \infty$ |
$f - g$, $f \to \infty$, $g \to \infty$ |
$-\infty,\; 0,\; \frac{1}{2},\; 2,\; 5,\; +\infty$ |
| $0^0$ |
$f^g$, $f \to 0^+$, $g \to 0$ |
$\frac{1}{e},\; 1,\; e$ |
| $1^\infty$ |
$f^g$, $f \to 1$, $g \to \infty$ |
$1,\; e,\; e^2,\; e^3,\; +\infty$ |
| $\infty^0$ |
$f^g$, $f \to +\infty$, $g \to 0$ |
$1,\; e,\; e^2$ |
Każdy z tych symboli może dawać dowolną wartość — dlatego nazywamy je nieoznaczonymi.
Podsumowanie
- 7 symboli nieoznaczonych: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$.
- Nieoznaczony = wynik zależy od konkretnych funkcji, nie od samego „typu".
- Ten sam symbol może dawać $0$, dowolną liczbę, $\pm\infty$ lub granica może nie istnieć.
- Symbole potęgowe ($0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$) sprowadzamy do $0 \cdot \infty$ przez logarytmowanie.
- Główne narzędzia: upraszczanie, reguła de l'Hôpitala, podstawienia, granice znane.