Okrąg jednostkowy o środku \(O\). Punkt \(A\) na okręgu, \(OA=1\). Punkt \(B\) na okręgu tak, że \(\angle AOB=x\), gdzie \(x\in(0,\pi/2)\). Styczna w \(A\) przecina półprostą \(OB\) w punkcie \(T\).
Wycinek koła \(OAB\): obszar ograniczony przez \(OA\), \(OB\) i łuk \(AB\). Obszar kąta skierowanego \(AOB\): obszar pomiędzy półprostymi \(OA\) i \(OB\) (dla kąta ostrego).
Całe koło leży po jednej stronie stycznej w \(A\), a promień \(OA\) jest do niej prostopadły.
Trójkąt \(\triangle OAB\) jest zawarty w wycinku koła \(OAB\), więc \[ \operatorname{Pole}(\triangle OAB)\lt \operatorname{Pole}(OAB). \] Ponieważ \(OA=1\), a wysokość z \(B\) na \(OA\) ma długość \(\sin x\), \[ \operatorname{Pole}(\triangle OAB)=\frac{1\cdot \sin x}{2}=\frac{\sin x}{2}. \] Z kolei \(\operatorname{Pole}(OAB)=\frac{x}{2}\) (kąt w radianach). Zatem \[ \frac{\sin x}{2}\lt \frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin x\lt x. \]
Wycinek koła \(OAB\) leży w obszarze kąta skierowanego \(AOB\). Ponieważ całe koło leży po jednej stronie stycznej w \(A\), wycinek \(OAB\) leży po tej samej stronie stycznej co \(O\). To oznacza, że wycinek \(OAB\) jest zawarty w trójkącie \(\triangle OAT\). Stąd \[ \operatorname{Pole}(OAB)\lt \operatorname{Pole}(\triangle OAT). \] Mamy \(\operatorname{Pole}(OAB)=\frac{x}{2}\) oraz \[ \operatorname{Pole}(\triangle OAT)=\frac{OA\cdot AT}{2}=\frac{1\cdot AT}{2}=\frac{AT}{2}, \] więc \(\frac{x}{2}\lt \frac{AT}{2}\Rightarrow x\lt AT\). W trójkącie prostokątnym \(\triangle OAT\) jest \(\angle AOT=x\), więc \[ \tan x=\frac{AT}{OA}=\frac{AT}{1}=AT. \] Zatem \(x\lt AT=\tan x\).
\[ \boxed{\sin x\lt x\lt \tan x}\quad \text{dla}\quad x\in(0,\pi/2). \]