Niech $f, g, h$ będą funkcjami określonymi w pewnym sąsiedztwie punktu $x_0$ (z ewentualnym pominięciem samego $x_0$) takimi, że:
Wtedy: \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = L. \]
Chcemy pokazać, że $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$, czyli: \[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x\colon \;\; 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; |g(x) - L| \lt \varepsilon. \]
Niech $\varepsilon \gt 0$ będzie dowolne.
Ponieważ $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$, istnieje $\delta_1 \gt 0$ takie, że: \[ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta_1 \;\Rightarrow\; |f(x) - L| \lt \varepsilon, \quad \text{czyli} \quad L - \varepsilon \lt f(x) \lt L + \varepsilon. \]
Ponieważ $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = L$, istnieje $\delta_2 \gt 0$ takie, że: \[ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta_2 \;\Rightarrow\; |h(x) - L| \lt \varepsilon, \quad \text{czyli} \quad L - \varepsilon \lt h(x) \lt L + \varepsilon. \]
Z założenia 1 istnieje $\delta_3 \gt 0$ takie, że nierówność $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ zachodzi dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta_3$.
Przyjmujemy: \[ \delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3). \]
Dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$ mamy jednocześnie:
Łącząc te nierówności: \[ L - \varepsilon \lt f(x) \leq g(x) \leq h(x) \lt L + \varepsilon. \]
Zatem: \[ L - \varepsilon \lt g(x) \lt L + \varepsilon, \quad \text{czyli} \quad |g(x) - L| \lt \varepsilon. \]
Dla dowolnego $\varepsilon \gt 0$ znaleźliśmy $\delta \gt 0$ takie, że $0 \lt |x - x_0| \lt \delta \Rightarrow |g(x) - L| \lt \varepsilon$. Zatem $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$. $\square$
Niech $(x_n)$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \neq x_0$ i $x_n \to x_0$.
Chcemy pokazać, że $g(x_n) \to L$.
Z założenia 1, dla dostatecznie dużych $n$ (gdy $x_n$ jest w sąsiedztwie $x_0$): \[ f(x_n) \leq g(x_n) \leq h(x_n). \]
Z założenia 2 i definicji Heinego granicy funkcji: \[ f(x_n) \to L \quad \text{oraz} \quad h(x_n) \to L. \]
Z twierdzenia o trzech ciągach (temat 29): \[ g(x_n) \to L. \]
Ponieważ ciąg $(x_n)$ był dowolny, z definicji Heinego: $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$. $\square$
Niech $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ dla $x \geq x_1$ (dla pewnego $x_1$) i niech: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} h(x) = L. \] Wtedy $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = L$.
Dowód jest analogiczny — zamiast $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$ używamy warunku $x \gt M$ dla dostatecznie dużego $M$.
Twierdzenie zachodzi również dla granic jednostronnych. Na przykład:
Jeśli $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ dla $x \in (x_0, x_0 + \delta_0)$ i $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} h(x) = L$, to $\lim\limits_{x \to x_0^+} g(x) = L$.
Analogicznie dla granicy lewostronnej ($x \to x_0^-$).
Ponieważ $-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$ (dla $x \neq 0$), mnożąc przez $x^2 \geq 0$: \[ -x^2 \leq x^2 \sin\frac{1}{x} \leq x^2. \]
Oba ciągi skrajne mają granicę $0$: $\lim\limits_{x \to 0}(-x^2) = 0$ i $\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$.
Z twierdzenia o trzech funkcjach: $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0$. $\checkmark$
Dla $x \gt 0$: \[ -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}. \]
Ponieważ $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{x} = 0$, z twierdzenia o trzech funkcjach: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\sin x}{x} = 0$. $\checkmark$
Ponieważ $-1 \leq \cos\frac{1}{x} \leq 1$, mnożąc przez $|x|$: \[ -|x| \leq x\cos\frac{1}{x} \leq |x|. \]
Ponieważ $\lim\limits_{x \to 0}|x| = 0$, z twierdzenia o trzech funkcjach: $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x} = 0$. $\checkmark$
Dla $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ zachodzą nierówności (dowód geometryczny — temat 56): \[ \cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1. \]
Ponieważ $\lim\limits_{x \to 0^+}\cos x = 1$ i $\lim\limits_{x \to 0^+} 1 = 1$, z twierdzenia o trzech funkcjach: \[ \lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1. \]
Granica lewostronna daje ten sam wynik (bo $\frac{\sin x}{x}$ jest funkcją parzystą), więc $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.
| Tw. o trzech ciągach (T29) | Tw. o trzech funkcjach (T55) | |
|---|---|---|
| Obiekty | Ciągi $(a_n), (b_n), (c_n)$ | Funkcje $f, g, h$ |
| Nierówność | $a_n \leq b_n \leq c_n$ (od pewnego $n_0$) | $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ (w sąsiedztwie $x_0$) |
| Granice skrajne | $a_n \to g$, $c_n \to g$ | $f(x) \to L$, $h(x) \to L$ (gdy $x \to x_0$) |
| Wniosek | $b_n \to g$ | $g(x) \to L$ |
Struktura dowodu jest identyczna — jedyna różnica to język: $\varepsilon$-$N$ (ciągi) vs. $\varepsilon$-$\delta$ (funkcje).