W całym temacie zakładamy, że $f, g\colon A \to \mathbb{R}$, $A \subseteq \mathbb{R}$, oraz $x_0$ jest punktem skupienia $A$. Wszystkie twierdzenia dotyczą granicy $x \to x_0$ (skończonego), ale analogicznie obowiązują dla $x \to x_0^{\pm}$, $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a \in \mathbb{R}$, to $f$ jest lokalnie ograniczona w otoczeniu $x_0$, tzn.
\[ \exists\, \delta \gt 0 \;\; \exists\, M \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x)| \leq M. \]Dla $\varepsilon = 1$ istnieje $\delta \gt 0$ takie, że $0 \lt |x - x_0| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - a| \lt 1$. Wtedy $|f(x)| \leq |f(x) - a| + |a| \lt 1 + |a|$. Bierzemy $M = 1 + |a|$. $\square$
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = a + b. \]Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Z założeń istnieją $\delta_1, \delta_2 \gt 0$ takie, że:
\[ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta_1 \;\Rightarrow\; |f(x) - a| \lt \frac{\varepsilon}{2}, \qquad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta_2 \;\Rightarrow\; |g(x) - b| \lt \frac{\varepsilon}{2}. \]Bierzemy $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$:
\[ |[f(x) + g(x)] - (a + b)| = |[f(x) - a] + [g(x) - b]| \leq |f(x) - a| + |g(x) - b| \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \quad \square \]Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = a - b. \]Wystarczy zastosować twierdzenie o sumie do $f(x)$ i $(-1) \cdot g(x)$. Ponieważ $\lim\limits_{x \to x_0} [-g(x)] = -b$ (mnożenie przez stałą $-1$), mamy:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = \lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + (-g(x))] = a + (-b) = a - b. \quad \square \]Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = a \cdot b. \]Kluczowy trick: dodajemy i odejmujemy $a \cdot g(x)$.
\[ f(x) \cdot g(x) - a \cdot b = f(x) \cdot g(x) - a \cdot g(x) + a \cdot g(x) - a \cdot b = [f(x) - a] \cdot g(x) + a \cdot [g(x) - b]. \]Stąd:
\[ |f(x) g(x) - ab| \leq |f(x) - a| \cdot |g(x)| + |a| \cdot |g(x) - b|. \]Z lematu o lokalnej ograniczoności: istnieje $\delta_0 \gt 0$ i $M \gt 0$ takie, że $|g(x)| \leq M$ dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta_0$.
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Dobieramy:
Bierzemy $\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \delta_2)$. Wtedy:
\[ |f(x)g(x) - ab| \leq \frac{\varepsilon}{2M} \cdot M + |a| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \quad \square \]Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $c \in \mathbb{R}$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = c \cdot a. \]Wynika z twierdzenia o iloczynie, bo $\lim\limits_{x \to x_0} c = c$ (funkcja stała).
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b \neq 0$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{b}. \]Ponieważ $b \neq 0$, z twierdzenia o zachowaniu znaku istnieje $\delta_0 \gt 0$ takie, że $|g(x)| \gt \frac{|b|}{2}$ dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta_0$.
Wtedy:
\[ \left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|b - g(x)|}{|g(x)| \cdot |b|} \lt \frac{|g(x) - b|}{\frac{|b|}{2} \cdot |b|} = \frac{2}{|b|^2} \cdot |g(x) - b|. \]Dla $\varepsilon \gt 0$ dobieramy $\delta_1$: $|g(x) - b| \lt \frac{|b|^2}{2} \varepsilon$. Bierzemy $\delta = \min(\delta_0, \delta_1)$:
\[ \left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{b}\right| \lt \frac{2}{|b|^2} \cdot \frac{|b|^2}{2}\varepsilon = \varepsilon. \quad \square \]Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b \neq 0$, to
\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}. \]Łączymy twierdzenie o iloczynie z lematem o odwrotności:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \left[f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}\right] = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}. \quad \square \]W tych przypadkach wynik zależy od konkretnych funkcji $f$ i $g$. Nie można go wyznaczyć z samej informacji o granicach — potrzebne są dodatkowe metody (np. reguła de l'Hôpitala, rozwinięcia, podstawienia).
Nie można bezpośrednio zastosować twierdzenia o ilorazie (bo mianownik $\to 0$). Trzeba najpierw uprościć wyrażenie.
bo $e^x$ rośnie szybciej niż $x$ (np. z reguły de l'Hôpitala: $\frac{e^x}{1} \to +\infty$).
Wszystkie powyższe twierdzenia można udowodnić korzystając z definicji Heinego i odpowiednich twierdzeń o granicach ciągów (T28):
Jeśli $x_n \to x_0$, $x_n \neq x_0$, to $f(x_n) \to a$ i $g(x_n) \to b$, więc z arytmetyki granic ciągów: $f(x_n) + g(x_n) \to a + b$ itd.
Metoda Heinego jest krótsza, ale wymaga wcześniejszego udowodnienia równoważności definicji Heinego i Cauchy'ego (T51).