T53. Granice niewłaściwe funkcji i granice w nieskończoności
Wprowadzenie
W definicji granicy $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ zarówno $x_0$, jak i $g$ mogą być
nieskończone. Wyróżniamy trzy sytuacje:
- Granica właściwa w punkcie skończonym — $x_0 \in \mathbb{R}$, $g \in \mathbb{R}$ (definicja klasyczna).
- Granica niewłaściwa w punkcie skończonym — $x_0 \in \mathbb{R}$, $g = \pm\infty$.
- Granica w nieskończoności — $x_0 = \pm\infty$, $g \in \mathbb{R}$ lub $g = \pm\infty$.
Poniżej podajemy wszystkie warianty definicji w języku $\varepsilon$-$\delta$ (Cauchy'ego)
oraz odpowiedniki ciągowe (Heinego).
1. Granice niewłaściwe w punkcie skończonym
Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$ i $x_0$ będzie punktem skupienia $A$.
Definicja: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \gt M.
\]
Definicja: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \lt -M.
\]
Interpretacja
Wartości $f(x)$ rosną (maleją) bez ograniczeń, gdy $x$ zbliża się do $x_0$.
Nie jest to granica w ścisłym sensie (wartość $+\infty$ lub $-\infty$ nie jest liczbą rzeczywistą),
dlatego mówimy o granicy niewłaściwej.
Wersja Heinego
$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ $\iff$ dla każdego ciągu $(x_n) \subset A \setminus \{x_0\}$
takiego, że $x_n \to x_0$, zachodzi $f(x_n) \to +\infty$.
Analogicznie dla $-\infty$.
2. Granice niewłaściwe jednostronne
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt x - x_0 \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \gt M.
\]
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt x - x_0 \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \lt -M.
\]
$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt x_0 - x \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \gt M.
\]
$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
0 \lt x_0 - x \lt \delta \;\Rightarrow\; f(x) \lt -M.
\]
3. Granice w nieskończoności — wartość skończona
Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$, gdzie $A$ jest nieograniczony z góry (odpowiednio z dołu).
Definicja: $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g \in \mathbb{R}$
\[
\forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \gt R \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon.
\]
Definicja: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = g \in \mathbb{R}$
\[
\forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \lt -R \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon.
\]
Interpretacja
Gdy $x$ rośnie (maleje) bez ograniczeń, wartości $f(x)$ stabilizują się wokół $g$.
Geometrycznie: prosta $y = g$ jest asymptotą poziomą wykresu $f$.
Wersja Heinego
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$ $\iff$ dla każdego ciągu $(x_n) \subset A$
takiego, że $x_n \to +\infty$, zachodzi $f(x_n) \to g$.
Analogicznie dla $x \to -\infty$.
4. Granice w nieskończoności — wartość nieskończona
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \gt R \;\Rightarrow\; f(x) \gt M.
\]
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \gt R \;\Rightarrow\; f(x) \lt -M.
\]
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \lt -R \;\Rightarrow\; f(x) \gt M.
\]
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
\[
\forall\, M \gt 0 \;\; \exists\, R \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad
x \lt -R \;\Rightarrow\; f(x) \lt -M.
\]
5. Zestawienie wszystkich wariantów
|
$g \in \mathbb{R}$ |
$g = +\infty$ |
$g = -\infty$ |
| $x \to x_0$ |
$|x-x_0| \lt \delta \Rightarrow |f(x)-g| \lt \varepsilon$ |
$|x-x_0| \lt \delta \Rightarrow f(x) \gt M$ |
$|x-x_0| \lt \delta \Rightarrow f(x) \lt -M$ |
| $x \to +\infty$ |
$x \gt R \Rightarrow |f(x)-g| \lt \varepsilon$ |
$x \gt R \Rightarrow f(x) \gt M$ |
$x \gt R \Rightarrow f(x) \lt -M$ |
| $x \to -\infty$ |
$x \lt -R \Rightarrow |f(x)-g| \lt \varepsilon$ |
$x \lt -R \Rightarrow f(x) \gt M$ |
$x \lt -R \Rightarrow f(x) \lt -M$ |
We wszystkich przypadkach: kwantyfikator $\forall\,\varepsilon\gt 0\;\exists\,\delta\gt 0$
(lub $\forall\,M\gt 0\;\exists\,\delta\gt 0$, $\forall\,\varepsilon\gt 0\;\exists\,R\gt 0$,
$\forall\,M\gt 0\;\exists\,R\gt 0$) stoi na początku.
6. Własności
Arytmetyka z $\pm\infty$
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = a \in \mathbb{R}$, to:
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = +\infty$
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \begin{cases} +\infty & \text{gdy } a \gt 0, \\ -\infty & \text{gdy } a \lt 0. \end{cases}$
- $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = +\infty$, to:
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = +\infty$
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty$
Symbole nieoznaczone
Następujące wyrażenia są nieoznaczone (wynik zależy od konkretnych funkcji):
\[
\infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad
0^0, \quad 1^\infty, \quad \infty^0.
\]
Twierdzenie o trzech funkcjach
Działa również dla granic niewłaściwych i granic w nieskończoności. Na przykład:
Jeśli $h(x) \leq f(x)$ w sąsiedztwie $+\infty$ i $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$,
to $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
7. Związek z asymptotami
Asymptota pozioma
Prosta $y = g$ jest asymptotą poziomą wykresu $f$ (przy $x \to +\infty$), jeśli
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g \in \mathbb{R}$.
Asymptota pionowa
Prosta $x = x_0$ jest asymptotą pionową wykresu $f$, jeśli co najmniej jedna z granic
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ lub $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ jest równa $+\infty$ lub $-\infty$.
8. Przykłady
Przykład 1: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$.
Wtedy $0 \lt |x| \lt \delta \Rightarrow \frac{1}{x^2} \gt \frac{1}{\delta^2} = M$. $\square$
Przykład 2: $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $\delta = \frac{1}{M}$.
Wtedy $0 \lt x \lt \delta \Rightarrow \frac{1}{x} \gt \frac{1}{\delta} = M$. $\square$
Analogicznie: $0 \lt -x \lt \delta \Rightarrow \frac{1}{x} = -\frac{1}{|x|} \lt -M$. $\square$
Przykład 3: $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $R = \frac{1}{\varepsilon}$.
Wtedy $x \gt R \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right| = \frac{1}{x} \lt \frac{1}{R} = \varepsilon$. $\square$
Przykład 4: $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $R = \sqrt{M}$.
Wtedy $x \gt R \Rightarrow x^2 \gt R^2 = M$. $\square$
Przykład 5: $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $R = -\ln\varepsilon$ (zakładamy $\varepsilon \lt 1$).
Wtedy $x \lt -R = \ln\varepsilon \Rightarrow e^x \lt e^{\ln\varepsilon} = \varepsilon$.
Asymptota pozioma: $y = 0$ przy $x \to -\infty$.
Przykład 6: $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $R = \ln M$.
Wtedy $x \gt R \Rightarrow e^x \gt e^R = M$.
Przykład 7: $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $\delta = e^{-M}$.
Wtedy $0 \lt x \lt \delta \Rightarrow \ln x \lt \ln\delta = -M$,
czyli $\ln x \lt -M$. $\square$
Przykład 8: $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $R = e^M$.
Wtedy $x \gt R \Rightarrow \ln x \gt \ln R = M$.
Przykład 9: $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = 2$
$\frac{2x+1}{x-3} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \to \frac{2+0}{1-0} = 2$
przy $x \to +\infty$. Asymptota pozioma: $y = 2$. $\square$
Przykład 10: $\lim\limits_{x \to +\infty} \sin x$ nie istnieje
Funkcja $\sin x$ oscyluje między $-1$ a $1$ — nie stabilizuje się wokół żadnej wartości
i nie dąży do $\pm\infty$. Granica (ani właściwa, ani niewłaściwa) nie istnieje.
Podsumowanie
- Granica niewłaściwa ($f(x) \to \pm\infty$ przy $x \to x_0$):
wartości $f$ rosną/maleją bez ograniczeń w sąsiedztwie $x_0$. Asymptota pionowa.
- Granica w nieskończoności ($f(x) \to g$ przy $x \to \pm\infty$):
wartości $f$ stabilizują się wokół $g$ dla dużych $|x|$. Asymptota pozioma.
- Granica niewłaściwa w nieskończoności ($f(x) \to \pm\infty$ przy $x \to \pm\infty$):
wartości $f$ rosną/maleją bez ograniczeń dla dużych $|x|$.
- Schemat definicji: zamień $\varepsilon$-$\delta$ na $M$-$\delta$, $\varepsilon$-$R$ lub $M$-$R$
w zależności od wariantu.
- Równoważność Cauchy–Heine zachodzi we wszystkich wariantach.
- Arytmetyka granic rozszerza się na $\pm\infty$ z uwzględnieniem symboli nieoznaczonych.