Punkt $x_0 \in \mathbb{R}$ jest punktem skupienia zbioru $A \subseteq \mathbb{R}$, jeśli
\[ \forall\, \delta \gt 0\colon \quad (x_0 - \delta,\; x_0 + \delta) \cap (A \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset. \]Równoważnie: w każdym otoczeniu $x_0$ leży co najmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $x_0$.
Mówimy, że $x_0$ jest prawostronnym punktem skupienia $A$, jeśli $\forall\, \delta \gt 0\colon (x_0, x_0 + \delta) \cap A \neq \emptyset$, oraz lewostronnym punktem skupienia $A$, jeśli $\forall\, \delta \gt 0\colon (x_0 - \delta, x_0) \cap A \neq \emptyset$.
Uwaga: $x_0$ nie musi należeć do $A$. Granicę funkcji (obustronną lub jednostronną) definiujemy tylko w odpowiednich punktach skupienia dziedziny.
Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$, $A \subseteq \mathbb{R}$, i niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $A \cap (x_0, +\infty)$ (odpowiednio $A \cap (-\infty, x_0)$).
Mówimy, że $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$, jeśli
\[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt x - x_0 \lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]Zapisujemy: $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g$.
Mówimy, że $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$, jeśli
\[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt x_0 - x \lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]Zapisujemy: $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g$.
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n) \subset A$ takiego, że $x_n \gt x_0$ i $x_n \to x_0$, zachodzi $f(x_n) \to g$.
Analogicznie: $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n) \subset A$ takiego, że $x_n \lt x_0$ i $x_n \to x_0$, zachodzi $f(x_n) \to g$.
Niech $x_0$ będzie punktem skupienia zarówno $A \cap (-\infty, x_0)$, jak i $A \cap (x_0, +\infty)$. Wówczas:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g \quad \iff \quad \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g \;\;\wedge\;\; \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g. \]Innymi słowy: granica obustronna istnieje i jest równa $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są sobie równe (i równe $g$).
Załóżmy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$. Wtedy:
\[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]W szczególności, jeśli $0 \lt x - x_0 \lt \delta$ (czyli $x \gt x_0$ i $|x - x_0| \lt \delta$), to $|f(x) - g| \lt \varepsilon$. Zatem $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g$.
Analogicznie, jeśli $0 \lt x_0 - x \lt \delta$ (czyli $x \lt x_0$ i $|x - x_0| \lt \delta$), to $|f(x) - g| \lt \varepsilon$. Zatem $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g$. $\square$
Załóżmy, że $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g$ i $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g$.
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Z granicy lewostronnej istnieje $\delta_1 \gt 0$ takie, że:
\[ \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt x_0 - x \lt \delta_1 \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]Z granicy prawostronnej istnieje $\delta_2 \gt 0$ takie, że:
\[ \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt x - x_0 \lt \delta_2 \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]Bierzemy $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) \gt 0$. Wtedy dla $x \in A$ z $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$:
W obu przypadkach $|f(x) - g| \lt \varepsilon$. Zatem $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$. $\square$
Jeśli granice jednostronne istnieją, ale są różne:
\[ \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x), \]to granica obustronna $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ nie istnieje.
Uwaga: granica obustronna może też nie istnieć, gdy jedna (lub obie) z granic jednostronnych nie istnieje.
Jeśli $x_0$ jest punktem skupienia $A$ tylko z jednej strony (np. $x_0$ jest lewym końcem przedziału), to granica obustronna $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ redukuje się do odpowiedniej granicy jednostronnej.
Na przykład, jeśli $f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$, to:
$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \gt 0, \\ 0 & \text{dla } x = 0, \\ -1 & \text{dla } x \lt 0. \end{cases}$
\[ \lim\limits_{x \to 0^+} \operatorname{sgn}(x) = 1, \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} \operatorname{sgn}(x) = -1. \]Ponieważ $1 \neq -1$, granica $\lim\limits_{x \to 0} \operatorname{sgn}(x)$ nie istnieje.
Dla $n \in \mathbb{Z}$:
\[ \lim\limits_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n, \qquad \lim\limits_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1. \]Granice jednostronne są różne ($n \neq n-1$), więc $\lim\limits_{x \to n} \lfloor x \rfloor$ nie istnieje.
Natomiast dla $x_0 \notin \mathbb{Z}$: obie granice jednostronne równe $\lfloor x_0 \rfloor$, więc $\lim\limits_{x \to x_0} \lfloor x \rfloor = \lfloor x_0 \rfloor$.
Dla $x \gt 0$: $f(x) = 1$. Dla $x \lt 0$: $f(x) = -1$.
\[ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1, \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -1. \]Granica obustronna nie istnieje (to jest w istocie $\operatorname{sgn}(x)$ dla $x \neq 0$).
Granice jednostronne istnieją (w rozszerzonym sensie), ale są różne — brak granicy obustronnej.
Granice jednostronne różne — brak granicy obustronnej.
Obie granice jednostronne równe $0$, więc $\lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$. $\checkmark$
$f(x) = x^2$. Dla dowolnego $x_0 \in \mathbb{R}$:
\[ \lim\limits_{x \to x_0^-} x^2 = x_0^2 = \lim\limits_{x \to x_0^+} x^2, \]więc $\lim\limits_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$.
Analogicznie definiujemy pozostałe kombinacje ($x_0^+ \to -\infty$, $x_0^- \to +\infty$).
Granice jednostronne mają te same własności co granica obustronna: