Istnieją dwa klasyczne sposoby definiowania granicy funkcji w punkcie: definicja Cauchy'ego (przez $\varepsilon$-$\delta$) i definicja Heinego (przez ciągi). Twierdzenie o ich równoważności jest jednym z fundamentalnych wyników analizy matematycznej.
Niech $f \colon D \to \mathbb{R}$, gdzie $D \subseteq \mathbb{R}$, i niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $D$, tzn.: \[ \forall\, \delta \gt 0 \quad \exists\, x \in D \setminus \{x_0\} \colon |x - x_0| \lt \delta. \]
Punkt $x_0$ nie musi należeć do $D$. Warunek punktu skupienia gwarantuje, że w każdym otoczeniu $x_0$ znajdują się punkty dziedziny różne od $x_0$.
Mówimy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$, jeśli: \[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \quad \exists\, \delta \gt 0 \quad \forall\, x \in D \colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \implies |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]
Mówimy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$, jeśli: \[ \text{dla każdego ciągu } (x_n) \subset D \setminus \{x_0\} \text{ takiego, że } x_n \to x_0, \text{ zachodzi } f(x_n) \to g. \]
Innymi słowy: dla każdego ciągu $(x_n)$ elementów dziedziny, zbieżnego do $x_0$ i takiego, że $x_n \neq x_0$ dla każdego $n$, ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do $g$.
Niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $D$ i niech $f \colon D \to \mathbb{R}$. Wtedy: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = g \text{ w sensie Cauchy'ego} \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = g \text{ w sensie Heinego}. \]
Zakładamy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ w sensie Cauchy'ego. Chcemy pokazać, że definicja Heinego jest spełniona.
Niech $(x_n)$ będzie dowolnym ciągiem takim, że $x_n \in D \setminus \{x_0\}$ i $x_n \to x_0$.
Weźmy dowolne $\varepsilon \gt 0$. Z definicji Cauchy'ego istnieje $\delta \gt 0$ takie, że: \[ \forall\, x \in D \colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \implies |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]
Ponieważ $x_n \to x_0$, dla tego $\delta$ istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że: \[ \forall\, n \geq N \colon \quad |x_n - x_0| \lt \delta. \]
Ponieważ $x_n \neq x_0$, mamy $0 \lt |x_n - x_0| \lt \delta$ dla $n \geq N$. Z warunku Cauchy'ego: \[ |f(x_n) - g| \lt \varepsilon \quad \text{dla } n \geq N. \]
Zatem $f(x_n) \to g$. Ponieważ ciąg $(x_n)$ był dowolny, definicja Heinego jest spełniona. $\square$
Pokażemy równoważną implikację: $\neg$Cauchy $\Rightarrow$ $\neg$Heine.
Załóżmy, że definicja Cauchy'ego nie jest spełniona. Oznacza to: \[ \exists\, \varepsilon_0 \gt 0 \quad \forall\, \delta \gt 0 \quad \exists\, x \in D \colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\wedge\; |f(x) - g| \geq \varepsilon_0. \]
Dla tego $\varepsilon_0$ i dla każdego $n \in \mathbb{N}$ bierzemy $\delta = \frac{1}{n}$. Istnieje więc $x_n \in D$ takie, że: \[ 0 \lt |x_n - x_0| \lt \frac{1}{n} \quad \text{oraz} \quad |f(x_n) - g| \geq \varepsilon_0. \]
Ciąg $(x_n)$ spełnia:
Znaleźliśmy ciąg $(x_n) \subset D \setminus \{x_0\}$ zbieżny do $x_0$, dla którego $f(x_n) \not\to g$. Zatem definicja Heinego nie jest spełniona.
Wykazaliśmy: $\neg$Cauchy $\Rightarrow$ $\neg$Heine, co jest równoważne: Heine $\Rightarrow$ Cauchy. $\square$
Warunek, że $x_0$ jest punktem skupienia $D$, jest istotny. Gwarantuje on, że w każdym otoczeniu $x_0$ istnieją punkty $D \setminus \{x_0\}$, co pozwala na:
Definicja Heinego jest szczególnie wygodna do wykazywania, że granica nie istnieje. Wystarczy znaleźć:
Implikacja Cauchy $\Rightarrow$ Heine jest prostsza (bezpośrednia). Implikacja Heine $\Rightarrow$ Cauchy wymaga kontrapozycji i konstrukcji ciągu — jest to typowy przykład użycia metody „nie wprost" w analizie.
Weźmy dwa ciągi zbieżne do $0$:
Ponieważ $\lim f(x_n) = 0 \neq 1 = \lim f(y_n)$, granica $\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ nie istnieje (z definicji Heinego).
Niech $x_n \to 0$, $x_n \neq 0$. Wtedy: \[ |f(x_n)| = |x_n| \cdot \left|\sin\frac{1}{x_n}\right| \leq |x_n| \to 0. \]
Z twierdzenia o trzech ciągach: $f(x_n) \to 0$ dla każdego ciągu $x_n \to 0$. Z definicji Heinego: $\lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$.
Dla $\varepsilon \gt 0$ szukamy $\delta$: \[ |f(x) - 5| = |3x - 1 - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2| \lt \varepsilon \iff |x - 2| \lt \frac{\varepsilon}{3}. \]
Bierzemy $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$. $\checkmark$
Twierdzenie o równoważności Heinego i Cauchy'ego przenosi się na:
Dowody przebiegają analogicznie (z odpowiednią modyfikacją kwantyfikatorów).
| Cecha | Cauchy ($\varepsilon$-$\delta$) | Heine (ciągowa) |
|---|---|---|
| Język | Kwantyfikatory $\forall\varepsilon\,\exists\delta$ | Ciągi i ich granice |
| Dowodzenie istnienia granicy | Wygodna (szukamy $\delta$) | Mniej wygodna (trzeba dla każdego ciągu) |
| Dowodzenie nieistnienia granicy | Trudna (negacja kwantyfikatorów) | Wygodna (wystarczy jeden kontrprzykład ciągowy) |
| Przenoszenie własności ciągów | Pośrednio | Bezpośrednio (arytmetyka granic ciągów) |