Punkt $x_0 \in \mathbb{R}$ jest punktem skupienia zbioru $A \subseteq \mathbb{R}$, jeśli
\[ \forall\, \delta \gt 0\colon \quad (x_0 - \delta,\; x_0 + \delta) \cap (A \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset. \]Równoważnie: w każdym otoczeniu $x_0$ leży co najmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $x_0$.
Uwaga: $x_0$ nie musi należeć do $A$. Granicę funkcji definiujemy tylko w punktach skupienia dziedziny.
Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$, $A \subseteq \mathbb{R}$, i niech $x_0$ będzie punktem skupienia $A$. Mówimy, że granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jest równa $g \in \mathbb{R}$, jeśli
\[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, \delta \gt 0 \;\; \forall\, x \in A\colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - g| \lt \varepsilon. \]Zapisujemy:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g. \]Dla każdego (dowolnie małego) „paska" $(g - \varepsilon, g + \varepsilon)$ wokół wartości $g$ istnieje „otoczenie" $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ punktu $x_0$ takie, że wartości $f(x)$ dla $x$ z tego otoczenia (z wyłączeniem samego $x_0$) mieszczą się w tym pasku.
Warunek $0 \lt |x - x_0|$ oznacza, że nie interesuje nas wartość $f(x_0)$ (która może nawet nie istnieć). Granica zależy wyłącznie od zachowania $f$ w pobliżu $x_0$.
Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$ i $x_0$ będzie punktem skupienia $A$. Mówimy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$, jeśli
\[ \text{dla każdego ciągu } (x_n) \subset A \setminus \{x_0\}\colon \quad x_n \to x_0 \;\Rightarrow\; f(x_n) \to g. \]Innymi słowy: dla każdego ciągu elementów dziedziny zbieżnego do $x_0$ (ale różnego od $x_0$), ciąg wartości $f(x_n)$ zbiega do $g$.
Definicja Cauchy'ego i definicja Heinego są równoważne.
Załóżmy, że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ w sensie Cauchy'ego. Niech $(x_n) \subset A \setminus \{x_0\}$ i $x_n \to x_0$.
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Z definicji Cauchy'ego istnieje $\delta \gt 0$ takie, że $0 \lt |x - x_0| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - g| \lt \varepsilon$.
Ponieważ $x_n \to x_0$, istnieje $N$ takie, że $|x_n - x_0| \lt \delta$ dla $n \geq N$. Ponieważ $x_n \neq x_0$, mamy $0 \lt |x_n - x_0| \lt \delta$, więc $|f(x_n) - g| \lt \varepsilon$ dla $n \geq N$. Zatem $f(x_n) \to g$. $\square$
Pokażemy: $\neg\text{Cauchy} \Rightarrow \neg\text{Heine}$.
Załóżmy, że definicja Cauchy'ego nie jest spełniona. Wtedy:
\[ \exists\, \varepsilon_0 \gt 0 \;\; \forall\, \delta \gt 0 \;\; \exists\, x \in A\colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\wedge\; |f(x) - g| \geq \varepsilon_0. \]Dla $\delta_n = \frac{1}{n}$ istnieje $x_n \in A$ takie, że $0 \lt |x_n - x_0| \lt \frac{1}{n}$ i $|f(x_n) - g| \geq \varepsilon_0$.
Ciąg $(x_n)$ spełnia: $x_n \in A \setminus \{x_0\}$, $x_n \to x_0$, ale $f(x_n) \not\to g$ (bo $|f(x_n) - g| \geq \varepsilon_0$). Zatem definicja Heinego nie jest spełniona. $\square$
Jeśli $x_0$ jest punktem skupienia $A$ zarówno z lewej, jak i z prawej strony, to:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g \quad \iff \quad \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = g \;\;\wedge\;\; \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = g. \]Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ istnieje, to jest jednoznaczna.
Dowód analogiczny do jednoznaczności granicy ciągu (T27) — albo wprost z definicji $\varepsilon$-$\delta$, albo z definicji Heinego i jednoznaczności granicy ciągu.
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$, to:
Dowody wynikają bezpośrednio z definicji Heinego i odpowiednich twierdzeń o granicach ciągów (T28).
Jeśli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g \gt 0$, to istnieje $\delta \gt 0$ takie, że $f(x) \gt 0$ dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$.
Jeśli w pewnym sąsiedztwie $x_0$ (z wyłączeniem $x_0$): $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ i $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$, to $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$.
$|f(x) - 7| = |3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$. Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$. Wtedy $0 \lt |x - 2| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - 7| = 3|x-2| \lt 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$. $\square$
$|x^2 - 0| = x^2 = |x|^2$. Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $\delta = \sqrt{\varepsilon}$. Wtedy $|x| \lt \delta \Rightarrow x^2 \lt \delta^2 = \varepsilon$. $\square$
Klasyczny wynik. Dowód geometryczny (z pól trójkąta i wycinka koła) daje $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ dla $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Ponieważ $\cos x \to 1$ przy $x \to 0$, z twierdzenia o trzech funkcjach: $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. Granice jednostronne są różne, więc granica obustronna nie istnieje.
$\left|x \sin\frac{1}{x}\right| \leq |x| \cdot 1 = |x|$. Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $\delta = \varepsilon$. Wtedy $0 \lt |x| \lt \delta \Rightarrow \left|x\sin\frac{1}{x}\right| \leq |x| \lt \varepsilon$. $\square$
Weźmy $x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0$: $f(x_n) = \sin(2n\pi) = 0$.
Weźmy $y_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0$: $f(y_n) = \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$.
Dwa ciągi zbieżne do $0$, ale ciągi wartości mają różne granice ($0 \neq 1$).
Z definicji Heinego: granica nie istnieje.
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $R = \frac{1}{\varepsilon}$. Wtedy $x \gt R \Rightarrow \frac{1}{x} \lt \frac{1}{R} = \varepsilon$. $\square$
Dla $x \neq 1$: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$. Zatem $\lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$. $\square$
$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \neq g$ oznacza:
\[ \exists\, \varepsilon_0 \gt 0 \;\; \forall\, \delta \gt 0 \;\; \exists\, x \in A\colon \quad 0 \lt |x - x_0| \lt \delta \;\wedge\; |f(x) - g| \geq \varepsilon_0. \]Negacja definicji (Heine): $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \neq g$ oznacza:
\[ \exists\, (x_n) \subset A \setminus \{x_0\}\colon \quad x_n \to x_0 \;\wedge\; f(x_n) \not\to g. \]