T49. Ciągi fundamentalne. Zasada zupełności Cauchy'ego

Ciągi fundamentalne (zwane też ciągami Cauchy'ego) stanowią kluczowe narzędzie w analizie matematycznej, pozwalające badać zbieżność ciągu bez znajomości jego granicy.

Definicja ciągu fundamentalnego

Definicja (ciąg fundamentalny / ciąg Cauchy'ego)
Ciąg $(a_n)$ liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem fundamentalnym (lub ciągiem Cauchy'ego), jeśli:

$$\forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb{N}\ \forall m, n > N:\ |a_m - a_n| < \varepsilon$$

Intuicja: Ciąg jest fundamentalny, gdy jego wyrazy stają się dowolnie bliskie siebie dla dostatecznie dużych indeksów. Wyrazy ciągu "zbliżają się do siebie" niezależnie od tego, czy znamy granicę.

Równoważne sformułowanie:
Ciąg $(a_n)$ jest fundamentalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$\lim_{m, n \to \infty} |a_m - a_n| = 0$$

Własności ciągów fundamentalnych

Twierdzenie 1
Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem fundamentalnym.

Dowód:

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem zbieżnym do $a$, czyli $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.

Weźmy dowolne $\varepsilon > 0$. Z definicji granicy:

$$\exists N \in \mathbb{N}\ \forall n > N:\ |a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Dla $m, n > N$ mamy:

$$|a_m - a_n| = |a_m - a + a - a_n| \leq |a_m - a| + |a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Zatem $(a_n)$ jest ciągiem fundamentalnym. $\square$

Twierdzenie 2
Każdy ciąg fundamentalny jest ograniczony.

Dowód:

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem fundamentalnym. Dla $\varepsilon = 1$ istnieje $N$ takie, że:

$$\forall m, n > N:\ |a_m - a_n| < 1$$

W szczególności dla $m = N + 1$: $|a_n - a_{N+1}| < 1$ dla wszystkich $n > N$.

Stąd $|a_n| < |a_{N+1}| + 1$ dla $n > N$.

Niech $M = \max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |a_{N+1}| + 1\}$.

Wówczas $|a_n| \leq M$ dla wszystkich $n \in \mathbb{N}$. $\square$

Zasada zupełności Cauchy'ego

Twierdzenie (Zasada zupełności Cauchy'ego / Kryterium Cauchy'ego zbieżności ciągu)
Ciąg $(a_n)$ liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem fundamentalnym.

$$\exists \lim_{n \to \infty} a_n \in \mathbb{R} \iff (a_n) \text{ jest ciągiem Cauchy'ego}$$

Znaczenie: Zasada zupełności Cauchy'ego jest równoważna aksjomatowi ciągłości liczb rzeczywistych. Mówi ona, że zbiór $\mathbb{R}$ jest zupełny - każdy ciąg fundamentalny ma granicę w $\mathbb{R}$.

Dowód zasady zupełności Cauchy'ego:

($\Rightarrow$) Już udowodnione w Twierdzeniu 1.

($\Leftarrow$) Niech $(a_n)$ będzie ciągiem fundamentalnym. Pokażemy, że jest zbieżny.

Krok 1: Z Twierdzenia 2 ciąg $(a_n)$ jest ograniczony.

Krok 2: Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny.
Niech $(a_{n_k})$ będzie podciągiem zbieżnym do pewnej granicy $a$:

$$\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$$

Krok 3: Pokażemy, że $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.

Weźmy dowolne $\varepsilon > 0$.

Z fundamentalności ciągu: $\exists N_1\ \forall m, n > N_1:\ |a_m - a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$
Ze zbieżności podciągu: $\exists K\ \forall k > K:\ |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2}$

Niech $N = \max\{N_1, n_K\}$. Dla $n > N$ wybieramy $k > K$ takie, że $n_k > N$.

Wówczas:

$$|a_n - a| = |a_n - a_{n_k} + a_{n_k} - a| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Zatem $\lim_{n \to \infty} a_n = a$. $\square$

Zastosowania kryterium Cauchy'ego

Kiedy stosować: Kryterium Cauchy'ego jest szczególnie użyteczne, gdy:

Nie znamy potencjalnej granicy ciągu
Chcemy wykazać zbieżność bez obliczania granicy
Badamy zbieżność szeregów (suma częściowa jako ciąg)

Kryterium Cauchy'ego dla szeregów:
Szereg $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall m > n > N:\ \left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| < \varepsilon$$

Przykłady

Przykład 1: Ciąg $a_n = \frac{1}{n}$ jest fundamentalny.

Sprawdzenie: Dla $m > n > N$:

$$|a_m - a_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N}$$

Dla $\varepsilon > 0$ wystarczy wziąć $N > \frac{1}{\varepsilon}$.

Przykład 2: Ciąg $a_n = (-1)^n$ nie jest fundamentalny.

Sprawdzenie: Dla $m = n + 1$:

$$|a_{n+1} - a_n| = |(-1)^{n+1} - (-1)^n| = |(-1)^n||(-1) - 1| = 2$$

Warunek fundamentalności nie jest spełniony dla $\varepsilon = 1$.

Przykład 3: Ciąg sum częściowych $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ jest fundamentalny.

Sprawdzenie: Dla $m > n$:

$$|S_m - S_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=n+1}^{m} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n}$$

Stąd szereg $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ jest zbieżny.

Zupełność przestrzeni metrycznej

Definicja
Przestrzeń metryczna $(X, d)$ jest zupełna, jeśli każdy ciąg Cauchy'ego w tej przestrzeni jest zbieżny do elementu tej przestrzeni.

Przykłady:

$\mathbb{R}$ z metryką $d(x, y) = |x - y|$ jest zupełna (zasada Cauchy'ego)
$\mathbb{Q}$ z tą samą metryką nie jest zupełna (np. ciąg przybliżeń $\sqrt{2}$ jest fundamentalny w $\mathbb{Q}$, ale nie ma granicy w $\mathbb{Q}$)
$\mathbb{R}^n$ z metryką euklidesową jest zupełna

Uwaga: warunek $|a_n - a_{n+1}| \to 0$ nie jest równoważny

Pytanie: Czy można w definicji ciągu Cauchy'ego zamienić warunek $|a_m - a_n| < \varepsilon$ na $|a_n - a_{n+1}| < \varepsilon$?

Odpowiedź: Nie. Warunek $|a_n - a_{n+1}| \to 0$ jest konieczny, ale niewystarczający dla fundamentalności ciągu.

Kontrprzykład: Ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}$$

Spełnia warunek $|S_{n+1} - S_n| \to 0$: bo $|S_{n+1} - S_n| = \frac{1}{n+1} \to 0$
Nie jest ciągiem Cauchy'ego: bo dla $m = 2n$: $$|S_{2n} - S_n| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$$

Ciąg $(S_n)$ jest rozbieżny do $+\infty$, mimo że kolejne wyrazy są coraz bliższe siebie.

Wniosek: Definicja Cauchy'ego wymaga kontroli różnicy dla wszystkich par indeksów $m, n > N$, nie tylko sąsiednich. Warunek na sąsiednie wyrazy jest zbyt słaby.