Twierdzenie Stolza–Cesàro jest odpowiednikiem reguły de l’Hospitala dla ciągów. Pozwala liczyć granice ilorazów \(\frac{a_n}{b_n}\) przez przejście do ilorazów różnic \(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\), gdy \((b_n)\) jest ściśle rosnący i \(b_n \to +\infty\).
Niech \((a_n)\) i \((b_n)\) będą ciągami rzeczywistymi. Załóżmy, że:
Jeżeli istnieje granica \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{\,b_{n+1}-b_n\,}=L \] (gdzie \(L\in\mathbb{R}\) lub \(L=\pm\infty\)), to istnieje granica \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L. \]
Oznaczmy \[ \Delta a_k = a_{k+1}-a_k,\qquad \Delta b_k = b_{k+1}-b_k. \] Z założeń mamy \(\Delta b_k>0\) oraz \(\sum_{k=1}^{n-1}\Delta b_k = b_n-b_1 \to +\infty\).
Załóżmy najpierw, że \(L\in\mathbb{R}\). Z definicji granicy: dla dowolnego \(\varepsilon>0\) istnieje \(N\), że dla \(k\ge N\) \[ L-\varepsilon \le \frac{\Delta a_k}{\Delta b_k} \le L+\varepsilon. \] Mnożąc przez dodatnie \(\Delta b_k\), dostajemy \[ (L-\varepsilon)\Delta b_k \le \Delta a_k \le (L+\varepsilon)\Delta b_k \quad\text{dla }k\ge N. \]
Sumujemy nierówności od \(k=N\) do \(n-1\) (dla \(n>N\)): \[ (L-\varepsilon)\sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k \le \sum_{k=N}^{n-1}\Delta a_k \le (L+\varepsilon)\sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k. \] Korzystamy z teleskopowania sum: \[ \sum_{k=N}^{n-1}\Delta a_k = a_n-a_N,\qquad \sum_{k=N}^{n-1}\Delta b_k = b_n-b_N. \] Zatem \[ (L-\varepsilon)(b_n-b_N)\le a_n-a_N\le (L+\varepsilon)(b_n-b_N). \]
Przekształcamy: \[ (L-\varepsilon) - \frac{a_N-(L-\varepsilon)b_N}{b_n} \le \frac{a_n}{b_n} \le (L+\varepsilon) - \frac{a_N-(L+\varepsilon)b_N}{b_n}. \] Ponieważ \(b_n\to +\infty\), to wyrazy typu \(\frac{\text{stała}}{b_n}\to 0\). Dostajemy więc \[ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\ge L-\varepsilon,\qquad \limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le L+\varepsilon. \] Ponieważ \(\varepsilon>0\) jest dowolne, wynika \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L. \]
Przypadki \(L=+\infty\) lub \(L=-\infty\) dowodzi się analogicznie, używając definicji granicy niewłaściwej: np. dla \(L=+\infty\) bierzemy dowolne \(M\) i dla dużych \(k\) mamy \(\frac{\Delta a_k}{\Delta b_k}\ge M\), co po sumowaniu daje \(\frac{a_n}{b_n}\ge M\) dla dużych \(n\), więc \(\frac{a_n}{b_n}\to +\infty\).
QED.
Jeśli istnieje granica \[ \lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=L, \] to \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=L. \]
Dowód: zastosuj Stolza do \(b_n=n\), wtedy \(\Delta b_n = 1\), więc \(\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\Delta a_n\).
Niech \(s_n = x_1+x_2+\cdots+x_n\). Jeśli \(x_n\to L\), to \[ \frac{s_n}{n}\to L. \]
To jest twierdzenie o zbieżności średnich Cesàro. Wynika z Wniosku 1, bo \(s_{n+1}-s_n=x_{n+1}\to L\).
Jeśli \((b_n)\) jest ściśle rosnący i \(b_n\to+\infty\), to aby policzyć \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\), często wystarczy policzyć \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\).
W praktyce wybiera się \(b_n\) tak, by \(\Delta b_n\) było proste (np. \(n\), \(n^2\), \(n!\), \(\ln n\) itd.).
Dla \(a_n=\sum_{k=1}^n f(k)\) oraz rosnącego \(b_n=g(n)\) mamy \[ \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{f(n+1)}{g(n+1)-g(n)}. \] Jeśli prawa strona ma granicę, to \(\frac{a_n}{g(n)}\) ma tę samą granicę.
Oblicz \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}\).
Weź \(a_n=\sum_{k=1}^n k^2\), \(b_n=n^3\). Wtedy \[ \Delta a_n=(n+1)^2,\qquad \Delta b_n=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1. \] Zatem \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1} =\frac{1}{3}. \] Na mocy Stolza: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}=\frac{1}{3}. \]
Oblicz \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}\).
\(a_n=\sum_{k=1}^n k\), \(b_n=n^2\). Mamy \(\Delta a_n=n+1\), \(\Delta b_n=2n+1\), więc \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}. \] Zatem \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac{1}{2}\).
Niech \(a_n=n!\) oraz \(b_n=2^n\). Oblicz zachowanie \(\frac{a_n}{b_n}\).
\[ \frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} =\frac{(n+1)!-n!}{2^{n+1}-2^n} =\frac{n!\,n}{2^n} =n\cdot\frac{n!}{2^n}. \] Ten iloraz rośnie bez ograniczeń (łatwo sprawdzić np. indukcyjnie, że \(\frac{n!}{2^n}\to\infty\)), więc \(\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\to+\infty\). Zatem na mocy Stolza: \[ \frac{n!}{2^n}\to +\infty. \]
Najczęstszy błąd w stosowaniu Stolza: zapominanie o warunku, że \((b_n)\) musi być ściśle rosnący i spełniać \(b_n\to +\infty\). Wtedy \(\Delta b_n>0\), co pozwala bezpiecznie mnożyć nierówności i sumować.