Twierdzenie to jest uogólnieniem klasycznej granicy definiującej liczbę $e$. Pokazujemy, że jeśli ciąg $(x_n)$ dąży do $+\infty$ lub $-\infty$, to $\left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} \to e$.
Liczbę $e$ definiujemy jako granicę ciągu: \[ e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Równoważnie: \[ e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \]
Oznaczmy $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ i $b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$.
Wiadomo, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący, ciąg $(b_n)$ jest malejący, oraz $a_n \lt e \lt b_n$ dla każdego $n$.
Jeśli $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = +\infty$ lub $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = -\infty$, to: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = e. \]
Niech $x_n \to +\infty$. Dla dostatecznie dużych $n$ mamy $x_n \gt 1$.
Oznaczmy $k_n = \lfloor x_n \rfloor$ (część całkowita $x_n$). Wtedy: \[ k_n \leq x_n \lt k_n + 1. \]
Ponieważ $x_n \to +\infty$, mamy również $k_n \to +\infty$.
Z nierówności $x_n \geq k_n$ mamy $\frac{1}{x_n} \leq \frac{1}{k_n}$, więc: \[ 1 + \frac{1}{x_n} \leq 1 + \frac{1}{k_n}. \]
Ponadto $x_n \lt k_n + 1$, więc: \[ \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} \gt \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{k_n}. \]
Ale: \[ \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{k_n} = \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{k_n + 1} \cdot \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{-1}. \]
Oznaczmy $m = k_n + 1$. Wtedy: \[ \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m-1} = \frac{\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}}{1 + \frac{1}{m}} \to \frac{e}{1} = e. \]
Z nierówności $x_n \lt k_n + 1$ mamy $\frac{1}{x_n} \gt \frac{1}{k_n + 1}$, więc: \[ 1 + \frac{1}{x_n} \gt 1 + \frac{1}{k_n + 1}. \]
Ponadto $x_n \geq k_n$, więc: \[ \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} \lt \left(1 + \frac{1}{k_n}\right)^{k_n + 1}. \]
Ale $\left(1 + \frac{1}{k_n}\right)^{k_n + 1} \to e$ (ciąg $b_n$).
Mamy oszacowania: \[ \left(1 + \frac{1}{k_n + 1}\right)^{k_n} \lt \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} \lt \left(1 + \frac{1}{k_n}\right)^{k_n + 1}. \]
Oba skrajne ciągi dążą do $e$, więc z twierdzenia o trzech ciągach: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = e. \quad \square \]
Niech $x_n \to -\infty$. Oznaczmy $y_n = -x_n$, więc $y_n \to +\infty$.
Dla dostatecznie dużych $n$ mamy $x_n \lt -1$, czyli $y_n \gt 1$.
Mamy: \[ \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = \left(1 - \frac{1}{y_n}\right)^{-y_n} = \left(\frac{y_n - 1}{y_n}\right)^{-y_n} = \left(\frac{y_n}{y_n - 1}\right)^{y_n}. \]
Przekształćmy dalej: \[ \left(\frac{y_n}{y_n - 1}\right)^{y_n} = \left(1 + \frac{1}{y_n - 1}\right)^{y_n}. \]
Oznaczmy $z_n = y_n - 1$. Wtedy $z_n \to +\infty$ i: \[ \left(1 + \frac{1}{z_n}\right)^{y_n} = \left(1 + \frac{1}{z_n}\right)^{z_n + 1} = \left(1 + \frac{1}{z_n}\right)^{z_n} \cdot \left(1 + \frac{1}{z_n}\right). \]
Ponieważ $z_n \to +\infty$: \[ \left(1 + \frac{1}{z_n}\right)^{z_n} \to e \quad \text{oraz} \quad \left(1 + \frac{1}{z_n}\right) \to 1. \]
Zatem: \[ \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = \left(1 + \frac{1}{z_n}\right)^{z_n} \cdot \left(1 + \frac{1}{z_n}\right) \to e \cdot 1 = e. \quad \square \]
Jeśli $\lim\limits_{n \to \infty} |x_n| = +\infty$, to: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = e. \]
Innymi słowy: nie ma znaczenia, czy $x_n \to +\infty$ czy $x_n \to -\infty$ — granica jest taka sama.
Oblicz $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2}$.
Rozwiązanie: Niech $x_n = n^2$. Wtedy $x_n \to +\infty$, więc: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} = e. \]
Oblicz $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}$.
Rozwiązanie: Niech $x_n = -n$. Wtedy $x_n \to -\infty$ i: \[ \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = \left(1 + \frac{1}{-n}\right)^{-n \cdot (-1)} = \left[\left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right]^{-1}. \]
Hmm, to nie jest dokładnie ta postać. Policzmy inaczej: \[ \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} = \frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n}} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n}}. \]
Ponieważ $\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1} \to e$ i $\left(1 + \frac{1}{n-1}\right) \to 1$: \[ \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n} = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n-1}\right) \to e \cdot 1 = e. \]
Zatem: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = \frac{1}{e} = e^{-1}. \]
Oblicz $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$.
Rozwiązanie: Niech $x_n = \frac{n}{2}$. Wtedy $x_n \to +\infty$ i: \[ \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = \left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{2x_n} = \left[\left(1 + \frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right]^{2} \to e^2. \]