Dla każdego $a \gt 0$, $a \neq 1$: \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log_a n}{n!} = 0. \]
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[ \log_a n = \frac{\ln n}{\ln a}. \] Zatem: \[ \frac{\log_a n}{n!} = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{\ln n}{n!}. \] Czynnik $\frac{1}{\ln a}$ jest stałą (skończoną, niezerową), więc wystarczy wykazać, że: \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n!} = 0. \]
Pokażemy, że $\ln n \lt n$ dla każdego $n \geq 1$, bez użycia rachunku różniczkowego.
Z nierówności Bernoulliego (dla $x \gt -1$, $n \in \mathbb{N}$): $(1+x)^n \geq 1 + nx$. Biorąc $x = 1$: \[ 2^n \geq 1 + n \gt n, \quad \text{czyli} \quad n \lt 2^n. \] Stosując logarytm naturalny (funkcja rosnąca) do obu stron: \[ \ln n \lt n \ln 2 \lt n \cdot 1 = n \quad (\text{bo } \ln 2 \lt 1). \]
Nierówność $\ln 2 \lt 1$ wynika z $e \gt 2$, co jest faktem elementarnym (np. $e = \lim(1 + \frac{1}{n})^n \geq (1 + \frac{1}{1})^1 = 2$, a ścisła nierówność z $n = 2$: $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25 \gt 2$).
Z kroku 2 mamy dla $n \geq 1$: \[ 0 \leq \frac{\ln n}{n!} \lt \frac{n}{n!} = \frac{n}{n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{(n-1)!}. \]
Mamy: \[ 0 \leq \frac{\ln n}{n!} \leq \frac{1}{(n-1)!}. \]
Ponieważ: \[ \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \quad \text{oraz} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n-1)!} = 0, \] z twierdzenia o trzech ciągach (tw. o dwóch policjantach) wynika: \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n!} = 0. \]
Zatem: \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log_a n}{n!} = \frac{1}{\ln a} \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n!} = \frac{1}{\ln a} \cdot 0 = 0. \quad \square \]
Silnia $n!$ rośnie znacznie szybciej niż $\log_a n$. Hierarchia tempa wzrostu: \[ \log_a n \;\ll\; n^k \;\ll\; a^n \;\ll\; n! \;\ll\; n^n \quad (n \to \infty). \] Zatem iloraz $\frac{\log_a n}{n!}$ dąży do zera.
Gdy $0 \lt a \lt 1$, mamy $\ln a \lt 0$, więc $\log_a n = \frac{\ln n}{\ln a} \lt 0$ dla $n \gt 1$. Wtedy $\frac{\log_a n}{n!} \lt 0$, ale $\left|\frac{\log_a n}{n!}\right| = \frac{\ln n}{|\ln a| \cdot n!} \to 0$, więc granica nadal wynosi $0$.
Wynik T43 wynika też z T41 i T42 łącznie: $\frac{\log_a n}{n!} = \frac{\log_a n}{n} \cdot \frac{n}{a^n} \cdot \frac{a^n}{n!}$, gdzie każdy czynnik jest ograniczony (lub dąży do zera).