Twierdzenie to mówi, że silnia rośnie szybciej niż dowolna potęga stałej podstawy. Wynik jest prawdziwy dla każdego $a \in \mathbb{R}$ (a nawet $a \in \mathbb{C}$), ale najciekawszy jest przypadek $a \gt 0$.
Dla każdego $a \in \mathbb{R}$ zachodzi: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0. \]
Ponieważ $\left|\frac{a^n}{n!}\right| = \frac{|a|^n}{n!}$, wystarczy pokazać, że $\frac{|a|^n}{n!} \to 0$. Możemy więc bez straty ogólności założyć, że $a \gt 0$.
Dla $a = 0$ teza jest oczywista ($\frac{0^n}{n!} = 0$ dla $n \geq 1$).
Niech $a \gt 0$. Wybierzmy $N \in \mathbb{N}$ takie, że $N \gt a$ (tzn. $N \geq \lfloor a \rfloor + 1$).
Wtedy $q = \frac{a}{N} \lt 1$.
Dla $n \gt N$ rozważmy stosunek: \[ \frac{a^n}{n!} = \frac{a^N}{N!} \cdot \frac{a}{N+1} \cdot \frac{a}{N+2} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{n}. \]
Każdy czynnik $\frac{a}{k}$ dla $k \gt N$ spełnia: \[ \frac{a}{k} \leq \frac{a}{N+1} \lt \frac{a}{N} = q \lt 1. \]
Zatem: \[ \frac{a^n}{n!} = \frac{a^N}{N!} \cdot \prod_{k=N+1}^{n} \frac{a}{k} \leq \frac{a^N}{N!} \cdot q^{n - N}. \]
Oznaczmy stałą $C = \frac{a^N}{N!} \gt 0$ (nie zależy od $n$). Mamy: \[ 0 \leq \frac{a^n}{n!} \leq C \cdot q^{n-N} = \frac{C}{q^N} \cdot q^n. \]
Ponieważ $0 \lt q \lt 1$, ciąg $q^n \to 0$, więc $C \cdot q^{n-N} \to 0$.
Z twierdzenia o trzech ciągach: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0. \quad \square \]
Dlaczego $n!$ rośnie szybciej niż $a^n$? Porównajmy czynniki:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ razy}}$, natomiast $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.
W $a^n$ każdy czynnik jest równy $a$. W $n!$ czynniki rosną bez ograniczeń. Od pewnego momentu ($k \gt a$) każdy czynnik $k$ w $n!$ jest większy niż $a$, więc iloraz $\frac{a}{k} \lt 1$ — i te ilorazy „ściskają" ułamek do zera.
$\frac{10^n}{n!} \to 0$. Wybieramy $N = 11$, wtedy $q = \frac{10}{11} \approx 0{,}909$.
Kilka wartości: $\frac{10^{10}}{10!} \approx 2756$, $\frac{10^{20}}{20!} \approx 0{,}041$, $\frac{10^{30}}{30!} \approx 3{,}8 \cdot 10^{-3}$.
$\frac{100^n}{n!} \to 0$. Zbieżność zaczyna się później (od $n \gt 100$), ale jest nieunikniona.
$\frac{(-5)^n}{n!} \to 0$, bo $\left|\frac{(-5)^n}{n!}\right| = \frac{5^n}{n!} \to 0$.
Z tego twierdzenia i pokrewnych wyników wynika następująca hierarchia szybkości wzrostu:
Dla $a \gt 1$ i $k \in \mathbb{N}$: \[ \log_a(n) \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n. \]
Zapis $f(n) \ll g(n)$ oznacza, że $\frac{f(n)}{g(n)} \to 0$.
Odpowiednie twierdzenia:
Oznaczmy $c_n = \frac{a^n}{n!}$ (dla $a \gt 0$). Zbadajmy iloraz kolejnych wyrazów: \[ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}. \]
Mamy: \[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a}{n+1} = 0 \lt 1. \]
Z kryterium d'Alemberta dla ciągów: jeśli $\lim \frac{c_{n+1}}{c_n} = L \lt 1$, to $c_n \to 0$.
Uzasadnienie kryterium: Skoro $L \lt 1$, wybierzmy $q$ takie, że $L \lt q \lt 1$. Od pewnego $N$: $\frac{c_{n+1}}{c_n} \lt q$, więc $c_n \lt c_N \cdot q^{n-N} \to 0$. $\square$