Granica górna i dolna ciągu

1. Ciągi pomocnicze $\overline{a}_n$ i $\underline{a}_n$

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem ograniczonym. Definiujemy:

\[ \overline{a}_n := \sup_{k \geq n} a_k = \sup\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots\}, \] \[ \underline{a}_n := \inf_{k \geq n} a_k = \inf\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots\}. \]

Ciąg $(\overline{a}_n)$ jest nierosnący (bo supremum po coraz mniejszym zbiorze nie rośnie), a ciąg $(\underline{a}_n)$ jest niemalejący (bo infimum po coraz mniejszym zbiorze nie maleje).

Oba ciągi są ograniczone (bo $(a_n)$ jest ograniczony), więc z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym — oba są zbieżne.

2. Definicja granicy górnej i dolnej

Granica górna (limes superior)

\[ \limsup_{n \to \infty} a_n := \lim\limits_{n \to \infty} \overline{a}_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k = \inf_{n \geq 1} \sup_{k \geq n} a_k. \]

Oznaczenie: $\limsup\limits_{n \to \infty} a_n$ lub $\overline{\lim}\limits_{n \to \infty} a_n$ lub $\lim\limits_{n \to \infty} \sup a_n$.

Granica dolna (limes inferior)

\[ \liminf_{n \to \infty} a_n := \lim\limits_{n \to \infty} \underline{a}_n = \lim\limits_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k = \sup_{n \geq 1} \inf_{k \geq n} a_k. \]

Oznaczenie: $\liminf\limits_{n \to \infty} a_n$ lub $\underline{\lim}\limits_{n \to \infty} a_n$.

Rozszerzenie na ciągi nieograniczone

Jeśli ciąg nie jest ograniczony z góry, przyjmujemy $\limsup\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$. Jeśli nie jest ograniczony z dołu: $\liminf\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$. Definicja jest więc poprawna dla każdego ciągu rzeczywistego.

3. Interpretacja

$\limsup\limits_{n \to \infty} a_n$ — największa wartość skupienia ciągu $(a_n)$, czyli największa granica podciągu.
$\liminf\limits_{n \to \infty} a_n$ — najmniejsza wartość skupienia ciągu $(a_n)$, czyli najmniejsza granica podciągu.

Intuicyjnie:

$\limsup$ mówi, „jak wysoko ciąg sięga nieskończenie często".
$\liminf$ mówi, „jak nisko ciąg spada nieskończenie często".

4. Własności

Własność 1: Nierówność podstawowa

\[ \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n. \]

Dla każdego $n$: $\underline{a}_n = \inf_{k \geq n} a_k \leq \sup_{k \geq n} a_k = \overline{a}_n$. Przechodząc do granicy: $\lim \underline{a}_n \leq \lim \overline{a}_n$. $\square$

Własność 2: Kryterium zbieżności

Ciąg $(a_n)$ jest zbieżny (do granicy skończonej) wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ \liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n \in \mathbb{R}. \]

Wówczas $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \liminf\limits_{n \to \infty} a_n = \limsup\limits_{n \to \infty} a_n$.

($\Rightarrow$) Niech $a_n \to g$. Dla $\varepsilon \gt 0$ istnieje $N$ takie, że $g - \varepsilon \lt a_n \lt g + \varepsilon$ dla $n \geq N$. Wtedy:

\[ g - \varepsilon \leq \inf_{k \geq n} a_k \leq \sup_{k \geq n} a_k \leq g + \varepsilon \quad \text{dla } n \geq N. \]

Zatem $\underline{a}_n \to g$ i $\overline{a}_n \to g$.

($\Leftarrow$) Niech $\liminf = \limsup = g$. Ponieważ $\underline{a}_n \leq a_n \leq \overline{a}_n$ i oba skrajne ciągi dążą do $g$, z twierdzenia o trzech ciągach: $a_n \to g$. $\square$

Własność 3: Nierówność z wyrazami ciągu

Dla każdego $n$:

\[ \underline{a}_n \leq a_n \leq \overline{a}_n, \]

a zatem:

\[ \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n. \]

Własność 4: Addytywność (nierówność)

\[ \liminf_{n \to \infty} a_n + \liminf_{n \to \infty} b_n \leq \liminf_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \limsup_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \limsup_{n \to \infty} a_n + \limsup_{n \to \infty} b_n. \]

Uwaga: równość nie musi zachodzić! (W odróżnieniu od zwykłej granicy.)

Własność 5: Mnożenie przez stałą

Dla $c \gt 0$:

\[ \limsup_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot \limsup_{n \to \infty} a_n, \qquad \liminf_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot \liminf_{n \to \infty} a_n. \]

Dla $c \lt 0$:

\[ \limsup_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot \liminf_{n \to \infty} a_n, \qquad \liminf_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot \limsup_{n \to \infty} a_n. \]

Własność 6: Negacja

\[ \limsup_{n \to \infty} (-a_n) = -\liminf_{n \to \infty} a_n, \qquad \liminf_{n \to \infty} (-a_n) = -\limsup_{n \to \infty} a_n. \]

Własność 7: Charakteryzacja przez podciągi

$\limsup\limits_{n \to \infty} a_n$ jest największą granicą podciągu ciągu $(a_n)$.

$\liminf\limits_{n \to \infty} a_n$ jest najmniejszą granicą podciągu ciągu $(a_n)$.

5. Charakteryzacja $\varepsilon$-$N$

$L = \limsup\limits_{n \to \infty} a_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall\, \varepsilon \gt 0\;\; \exists\, N\;\; \forall\, n \geq N\colon \; a_n \lt L + \varepsilon$ (prawie wszystkie wyrazy leżą poniżej $L + \varepsilon$),
$\forall\, \varepsilon \gt 0\;\; \forall\, N\;\; \exists\, n \geq N\colon \; a_n \gt L - \varepsilon$ (nieskończenie wiele wyrazów leży powyżej $L - \varepsilon$).

Analogicznie, $\ell = \liminf\limits_{n \to \infty} a_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall\, \varepsilon \gt 0\;\; \exists\, N\;\; \forall\, n \geq N\colon \; a_n \gt \ell - \varepsilon$,
$\forall\, \varepsilon \gt 0\;\; \forall\, N\;\; \exists\, n \geq N\colon \; a_n \lt \ell + \varepsilon$.

6. Przykłady

Przykład 1: $a_n = (-1)^n$

$\sup_{k \geq n} a_k = 1$ (bo wśród $a_n, a_{n+1}, \dots$ zawsze jest wyraz $= 1$).
$\inf_{k \geq n} a_k = -1$ (bo zawsze jest wyraz $= -1$).

\[ \limsup_{n \to \infty} (-1)^n = 1, \qquad \liminf_{n \to \infty} (-1)^n = -1. \]

Ponieważ $1 \neq -1$, ciąg jest rozbieżny.

Przykład 2: $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

Wyrazy: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

$\overline{a}_n = \sup_{k \geq n} a_k$: dla dużych $n$ supremum to $\frac{1}{n}$ (lub $\frac{1}{n+1}$) $\to 0$.
$\underline{a}_n = \inf_{k \geq n} a_k$: dla dużych $n$ infimum to $-\frac{1}{n}$ (lub $-\frac{1}{n+1}$) $\to 0$.

\[ \limsup_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0, \qquad \liminf_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0. \]

Ponieważ $\limsup = \liminf = 0$, ciąg jest zbieżny do $0$. $\checkmark$

Przykład 3: $a_n = \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)$

Wyrazy: $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots$ (okres 4).

\[ \limsup_{n \to \infty} a_n = 1, \qquad \liminf_{n \to \infty} a_n = -1. \]

Przykład 4: $a_n = \frac{1}{n}$

Ciąg malejący, więc $\overline{a}_n = a_n = \frac{1}{n}$ i $\underline{a}_n = \inf_{k \geq n} \frac{1}{k} = 0^+$ (infimum dąży do $0$, ale nie jest osiągane).

\[ \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, \qquad \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. \]

Ciąg zbieżny do $0$.

Przykład 5: $a_n = (-1)^n + \frac{1}{n}$

Wyrazy: $0, \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{5}{4}, -\frac{4}{5}, \dots$

Podciąg parzysty: $a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} \to 1$.
Podciąg nieparzysty: $a_{2k-1} = -1 + \frac{1}{2k-1} \to -1$.

\[ \limsup_{n \to \infty} a_n = 1, \qquad \liminf_{n \to \infty} a_n = -1. \]

Przykład 6: $a_n = n \cdot (-1)^n$

Ciąg nieograniczony: podciąg parzysty $\to +\infty$, podciąg nieparzysty $\to -\infty$.

\[ \limsup_{n \to \infty} a_n = +\infty, \qquad \liminf_{n \to \infty} a_n = -\infty. \]

Przykład 7: $a_n = \frac{n}{n+1}$ (ciąg zbieżny)

\[ \limsup_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 1. \]

7. Zastosowania

Kryterium zbieżności

Aby sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny, wystarczy policzyć $\limsup$ i $\liminf$. Jeśli są równe i skończone — ciąg jest zbieżny.

Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) dla szeregów

Szereg $\sum a_n$ jest zbieżny bezwzględnie, jeśli $\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \lt 1$.

Oszacowania

Dla dowolnego ciągu ograniczonego:

\[ \inf_{n} a_n \leq \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n \leq \sup_{n} a_n. \]

Podsumowanie

$\limsup\limits_{n \to \infty} a_n = \inf_n \sup_{k \geq n} a_k$ — granica nierosnącego ciągu supremów „ogonów".
$\liminf\limits_{n \to \infty} a_n = \sup_n \inf_{k \geq n} a_k$ — granica niemalejącego ciągu infimów „ogonów".
Zawsze: $\liminf \leq \limsup$.
Zbieżność: $\lim$ istnieje $\iff$ $\liminf = \limsup$.
Interpretacja: $\limsup$ = największa granica podciągu, $\liminf$ = najmniejsza granica podciągu.
Istnieją zawsze (w $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$) dla każdego ciągu rzeczywistego.

T35. Granica górna i dolna ciągu; własności, przykłady