Twierdzenie Bolzana–Weierstrassa o ciągach

Twierdzenie

Twierdzenie. Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych \$(x_n)\$ ma podciąg zbieżny (do pewnej liczby rzeczywistej). Inaczej: z każdego ograniczonego ciągu w \$\\mathbb{R}\$ można wybrać podciąg \$(x_{n_k})\$, który jest zbieżny.

Dowód (metoda przedziałów połowiących)

Niech \$(x_n)\$ będzie ciągiem ograniczonym. To znaczy istnieją liczby \$m, M\\in\\mathbb{R}\$ takie, że

\[ m \le x_n \le M \quad \text{dla każdego } n. \]

Rozważmy przedział domknięty

\[ I_0=[m,M], \]

który zawiera wszystkie wyrazy ciągu.

Krok 1. Konstrukcja zstępujących przedziałów

Podzielmy \$I_0\$ na dwie połowy:

\[ I_0^{(1)}=\left[m,\frac{m+M}{2}\right],\qquad I_0^{(2)}=\left[\frac{m+M}{2},M\right]. \]

Ponieważ wszystkie wyrazy \$(x_n)\$ leżą w \$I_0\$, to co najmniej jedna z połówek zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu (gdyby każda zawierała tylko skończenie wiele, to razem w \$I_0\$ byłoby skończenie wiele — sprzeczność).

Wybieramy taką połówkę i oznaczamy ją przez \$I_1\$. Zatem:

\$I_1\subset I_0\$,
w \$I_1\$ leży nieskończenie wiele wyrazów ciągu,
długość \$I_1\$ wynosi \$|I_1|=\frac{M-m}{2}\$.

Teraz powtarzamy procedurę: mając \$I_k\$, dzielimy go na połowy i wybieramy tę, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Dostajemy ciąg przedziałów domkniętych:

\[ I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \cdots \]

o długościach

\[ |I_k|=\frac{M-m}{2^k}\xrightarrow[k\to\infty]{}0, \]

i każdy \$I_k\$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów \$(x_n)\$.

Niech \$I_k=[a_k,b_k]\$. Wtedy \$(a_k)\$ jest niemalejący, \$(b_k)\$ jest nierosnący oraz \$b_k-a_k\to 0\$.

Krok 2. Istnienie punktu wspólnego

Ponieważ \$a_k\le b_k\$ i \$a_k\$ rośnie, a \$b_k\$ maleje, oraz \$b_k-a_k\to 0\$, to oba ciągi mają ten sam graniczny punkt:

\[ \lim_{k\to\infty} a_k = \lim_{k\to\infty} b_k =: \ell. \]

W szczególności \$\ell\in I_k\$ dla każdego \$k\$ (przedziały „zaciskają się” do punktu \$\ell\$).

Krok 3. Wybór podciągu \$(x_{n_k})\$

Skoro \$I_1\$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu, możemy wybrać indeks \$n_1\$ tak, że \$x_{n_1}\in I_1\$. Następnie \$I_2\$ też zawiera nieskończenie wiele wyrazów, więc wybieramy \$n_2>n_1\$ takie, że \$x_{n_2}\in I_2\$.

Indukcyjnie: mając \$n_k\$, wybieramy \$n_{k+1}>n_k\$ z warunkiem \$x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}\$. W ten sposób otrzymujemy podciąg \$(x_{n_k})\$ taki, że dla każdego \$k\$:

\[ x_{n_k}\in I_k=[a_k,b_k]. \]

Krok 4. Zbieżność podciągu do \$\ell\$

Weźmy dowolne \$\varepsilon>0\$. Ponieważ \$|I_k|=b_k-a_k\to 0\$, istnieje \$K\$ takie, że dla \$k\ge K\$:

\[ b_k-a_k\lt\varepsilon. \]

Dla \$k\ge K\$ mamy jednocześnie \$\ell\in I_k\$ oraz \$x_{n_k}\in I_k\$. Zatem oba punkty leżą w tym samym przedziale długości \$\lt\varepsilon\$, więc

\[ |x_{n_k}-\ell|\le b_k-a_k\lt\varepsilon. \]

To dokładnie znaczy, że

\[ x_{n_k}\xrightarrow[k\to\infty]{}\ell. \]

Otrzymaliśmy zbieżny podciąg, co kończy dowód. $\square$

T34. Twierdzenie Bolzana–Weierstrassa o ciągach

Twierdzenie

Dowód (metoda przedziałów połowiących)

Krok 1. Konstrukcja zstępujących przedziałów

Krok 2. Istnienie punktu wspólnego

Krok 3. Wybór podciągu \\((x_{n_k})\\)

Krok 4. Zbieżność podciągu do \\(\ell\\)