Niech $(a_n)_{n \geq 1}$ będzie ciągiem liczbowym. Podciągiem ciągu $(a_n)$ nazywamy ciąg postaci
\[ (a_{n_k})_{k \geq 1} = (a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots), \]gdzie $(n_k)$ jest ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych: $n_1 \lt n_2 \lt n_3 \lt \ldots$
Intuicja: podciąg powstaje przez wybranie nieskończenie wielu wyrazów ciągu $(a_n)$ z zachowaniem ich kolejności.
Jeśli $(n_k)$ jest ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to $n_k \geq k$ dla każdego $k \geq 1$.
Baza: $n_1 \geq 1 = k$ dla $k = 1$. ✓
Krok: Załóżmy, że $n_k \geq k$. Ponieważ $n_{k+1} \gt n_k \geq k$ i $n_{k+1} \in \mathbb{N}$, mamy $n_{k+1} \geq k + 1$. $\square$
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $a \in \mathbb{R}$, to każdy podciąg $(a_{n_k})$ jest również zbieżny do $a$:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a \;\;\Longrightarrow\;\; \lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} = a. \]Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Z definicji granicy ciągu $(a_n)$ istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że:
\[ \forall\, n \geq N\colon \quad |a_n - a| \lt \varepsilon. \]Niech $(a_{n_k})$ będzie dowolnym podciągiem. Z lematu $n_k \geq k$, więc dla $k \geq N$ mamy $n_k \geq k \geq N$, a zatem:
\[ |a_{n_k} - a| \lt \varepsilon. \]To oznacza, że $\lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} = a$. $\square$
Zbieżność niektórych podciągów nie gwarantuje zbieżności całego ciągu.
Ciąg $a_n = (-1)^n$ jest rozbieżny, ale ma podciągi zbieżne:
Oba podciągi są zbieżne, ale do różnych granic, więc ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny.
Ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podciąg $(a_{n_k})$ jest zbieżny do $a$.
\[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a \;\;\Longleftrightarrow\;\; \forall\, (n_k)\colon \lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} = a. \]($\Rightarrow$) Twierdzenie 3.
($\Leftarrow$) Ciąg $(a_n)$ jest swoim własnym podciągiem (bierzemy $n_k = k$). Jeśli każdy podciąg zbiega do $a$, to w szczególności sam ciąg $(a_n)$ zbiega do $a$. $\square$
Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny, jeśli spełniony jest co najmniej jeden z warunków:
W obu przypadkach dowodzimy nie wprost. Gdyby $(a_n)$ był zbieżny do pewnego $a$, to z twierdzenia 3 każdy podciąg zbiegałby do $a$ — sprzeczność z istnieniem podciągu rozbieżnego lub podciągów o różnych granicach. $\square$
Jeśli $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$, to $\lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} = +\infty$ dla każdego podciągu $(a_{n_k})$.
Analogicznie dla $-\infty$.
Dla $M \gt 0$ istnieje $N$ takie, że $n \geq N \Rightarrow a_n \gt M$. Dla $k \geq N$ mamy $n_k \geq k \geq N$, więc $a_{n_k} \gt M$. $\square$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, więc każdy podciąg zbiega do $0$. Na przykład: $a_{2k} = \frac{1}{2k} \to 0$, $a_{k^2} = \frac{1}{k^2} \to 0$.
Podciąg $a_{2k} = 1 \to 1$, podciąg $a_{2k-1} = -1 \to -1$. Granice różne $\Rightarrow$ ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny.
Podciąg $a_{4k} = \sin(2k\pi) = 0 \to 0$, podciąg $a_{4k+1} = \sin\!\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right) = 1 \to 1$. Granice różne $\Rightarrow$ ciąg rozbieżny.
$|a_n| = \frac{1}{n} \to 0$, więc $a_n \to 0$. Każdy podciąg zbiega do $0$: $a_{2k} = \frac{1}{2k} \to 0$, $a_{2k-1} = -\frac{1}{2k-1} \to 0$.
Podciąg $a_{2k} = 2k \to +\infty$, podciąg $a_{2k-1} = -(2k-1) \to -\infty$. Ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy, nawet niewłaściwej).