Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Dokładniej:
Ciąg niemalejący jest automatycznie ograniczony z dołu (przez $a_1$), więc jest ograniczony $\iff$ jest ograniczony z góry. Analogicznie: ciąg nierosnący jest ograniczony $\iff$ jest ograniczony z dołu.
Niech $(a_n)$ będzie niemalejący i ograniczony z góry. Zbiór $A := \{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ jest niepusty i ograniczony z góry, więc z aksjomatu kresu górnego istnieje
\[ g := \sup A = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \in \mathbb{R}. \]Pokażemy, że $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$.
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Ponieważ $g = \sup A$:
Z drugiego punktu: istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że
\[ a_N \gt g - \varepsilon. \]Ponieważ $(a_n)$ jest niemalejący, dla każdego $n \geq N$:
\[ g - \varepsilon \lt a_N \leq a_n \leq g. \]Zatem:
\[ |a_n - g| = g - a_n \lt g - (g - \varepsilon) = \varepsilon \quad \text{dla każdego } n \geq N. \]To oznacza, że $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$. $\square$
Niech $(a_n)$ będzie nierosnący i ograniczony z dołu. Zbiór $A := \{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ jest niepusty i ograniczony z dołu, więc istnieje
\[ g := \inf A = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \in \mathbb{R}. \]Pokażemy, że $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$.
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Ponieważ $g = \inf A$:
Ponieważ $(a_n)$ jest nierosnący, dla $n \geq N$:
\[ g \leq a_n \leq a_N \lt g + \varepsilon. \]Zatem:
\[ |a_n - g| = a_n - g \lt (g + \varepsilon) - g = \varepsilon \quad \text{dla każdego } n \geq N. \]Czyli $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$. $\square$
$a_n = n$ — niemalejący, ale nieograniczony z góry. Ciąg rozbieżny: $\lim\limits_{n \to \infty} n = +\infty$.
$a_n = (-1)^n$ — ograniczony ($|a_n| \leq 1$), ale niemonotoniczny. Ciąg rozbieżny.
Zatem: ani sama monotoniczność, ani sama ograniczoność nie wystarczają do zbieżności — potrzebne są oba warunki jednocześnie.
Ciąg ściśle rosnący (pokazano w T25) i ograniczony z góry: $a_n \lt 1$.
Z twierdzenia: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \sup\left\{\frac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N}\right\} = 1$.
Ciąg ściśle malejący i ograniczony z dołu: $a_n \gt 0$.
Z twierdzenia: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \inf\left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} = 0$.
Można pokazać, że ciąg jest ściśle rosnący i ograniczony z góry przez $3$ (np. z dwumianu Newtona). Z twierdzenia: ciąg jest zbieżny. Jego granicę oznaczamy $e$:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}718\ldots \]Niech $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right)$.
Można pokazać (indukcyjnie), że:
Z twierdzenia: ciąg jest zbieżny (od $n = 2$). Z jednoznaczności granicy: $g = \sqrt{2}$ (rozwiązując $g = \frac{1}{2}(g + \frac{2}{g})$).
Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony od pewnego miejsca, tj.
\[ \exists\, N_0 \in \mathbb{N}\;\; \forall\, n \geq N_0\colon \quad a_n \leq a_{n+1} \quad \text{(lub } a_n \geq a_{n+1}\text{)} \]i ciąg $(a_n)_{n \geq N_0}$ jest ograniczony.
Uzasadnienie: zbieżność ciągu zależy tylko od jego „ogona" — zmiana skończenie wielu wyrazów nie wpływa na istnienie ani wartość granicy.
Każdy ciąg monotoniczny ma granicę (skończoną lub nieskończoną):
Twierdzenie jest równoważne aksjomatowi kresu górnego (w kontekście ciała uporządkowanego). Oznacza to, że:
W $\mathbb{Q}$ twierdzenie nie zachodzi: ciąg wymiernych przybliżeń $\sqrt{2}$ (np. z metody Herona) jest monotoniczny i ograniczony w $\mathbb{Q}$, ale nie ma granicy w $\mathbb{Q}$.