Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Formalnie: jeśli $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g \in \mathbb{R}$, to
\[ \exists\, M \gt 0 \;\; \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad |a_n| \leq M. \]Niech $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$. Dla $\varepsilon = 1$ istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że
\[ \forall\, n \geq N\colon \quad |a_n - g| \lt 1. \]Z nierówności trójkąta, dla $n \geq N$:
\[ |a_n| = |a_n - g + g| \leq |a_n - g| + |g| \lt 1 + |g|. \]Wyrazy o indeksach $n \lt N$ stanowią zbiór skończony $\{a_1, a_2, \dots, a_{N-1}\}$. Definiujemy:
\[ M := \max\bigl(|a_1|,\; |a_2|,\; \dots,\; |a_{N-1}|,\; 1 + |g|\bigr). \]Wtedy:
Zatem $|a_n| \leq M$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$. $\square$
Dzielimy wyrazy ciągu na dwie grupy:
Bierzemy $M$ jako większą z tych dwóch wartości — i gotowe.
Nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny.
Innymi słowy: ograniczoność jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym do zbieżności.
Ciąg ograniczony: $|a_n| = 1 \leq 1$ dla każdego $n$.
Ciąg rozbieżny: podciąg parzysty $a_{2k} = 1 \to 1$, podciąg nieparzysty $a_{2k-1} = -1 \to -1$. Ponieważ $1 \neq -1$, ciąg nie ma granicy.
Ciąg ograniczony: $|a_n| = |\sin n| \leq 1$.
Ciąg rozbieżny — zbiór wartości skupienia jest gęsty w $[-1, 1]$, więc ciąg nie ma granicy.
Ciąg ograniczony ($|a_n| \leq 1$) i okresowy: $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots$ Rozbieżny (podciągi mają różne granice).
Twierdzenie „zbieżny $\Rightarrow$ ograniczony" jest równoważne kontrapozycji:
\[ \text{ciąg nieograniczony} \quad \Longrightarrow \quad \text{ciąg rozbieżny.} \]Jest to wygodne narzędzie do dowodzenia rozbieżności: wystarczy pokazać, że ciąg jest nieograniczony.
Ciąg $a_n = n$ jest nieograniczony (bo dla każdego $M$ istnieje $n \gt M$). Zatem z kontrapozycji: ciąg $(n)$ jest rozbieżny.
Ciąg $a_n = (-1)^n \cdot n$: $|a_n| = n \to \infty$, więc nieograniczony, więc rozbieżny.
Dla ciągów liczbowych zachodzą następujące implikacje:
\[ \boxed{\text{zbieżny}} \;\Longrightarrow\; \boxed{\text{ograniczony}} \]ale nie odwrotnie. Natomiast z dodatkowym warunkiem monotoniczności:
\[ \boxed{\text{monotoniczny}} \;+\; \boxed{\text{ograniczony}} \;\Longrightarrow\; \boxed{\text{zbieżny}} \](Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego — T32.)
| Ciąg | Zbieżny? | Ograniczony? | Monotoniczny? |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{n}$ | tak ($\to 0$) | tak | tak (malejący) |
| $\frac{n}{n+1}$ | tak ($\to 1$) | tak | tak (rosnący) |
| $\frac{(-1)^n}{n}$ | tak ($\to 0$) | tak | nie |
| $(-1)^n$ | nie | tak | nie |
| $\sin n$ | nie | tak | nie |
| $n$ | nie ($\to +\infty$) | nie | tak (rosnący) |
| $(-1)^n \cdot n$ | nie | nie | nie |
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Dokładniej:
Każdy ciąg ograniczony posiada podciąg zbieżny.
Zatem: choć ciąg ograniczony nie musi być zbieżny, to zawsze zawiera podciąg zbieżny.
Ciąg jest zbieżny $\iff$ jest ciągiem Cauchy'ego $\iff$ jest ograniczony i ma dokładnie jedną wartość skupienia.
Pokażemy, że ciąg $(n^2)$ jest nieograniczony. Dla dowolnego $M \gt 0$ bierzemy $n_0 := \lceil\sqrt{M}\rceil + 1$. Wtedy:
\[ a_{n_0} = n_0^2 \gt M. \]Zatem ciąg jest nieograniczony, więc (z kontrapozycji twierdzenia) jest rozbieżny. $\square$