Badamy związek między zbieżnością ciągu $(a_n)$ a zbieżnością ciągu wartości bezwzględnych $(|a_n|)$. Okazuje się, że implikacja zachodzi tylko w jedną stronę.
Dla $x \in \mathbb{R}$ definiujemy: \[ |x| = \begin{cases} x & \text{jeśli } x \geq 0 \\ -x & \text{jeśli } x \lt 0 \end{cases} \]
Kluczowa nierówność: Dla dowolnych $x, y \in \mathbb{R}$ zachodzi: \[ \big| |x| - |y| \big| \leq |x - y|. \]
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $a$, to ciąg $(|a_n|)$ jest zbieżny do $|a|$.
Symbolicznie: \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a \quad \Rightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = |a|. \]
Załóżmy, że $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$.
Chcemy pokazać, że $\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = |a|$, czyli że: \[ \forall_{\varepsilon \gt 0} \; \exists_{N \in \mathbb{N}} \; \forall_{n \gt N} \quad \big| |a_n| - |a| \big| \lt \varepsilon. \]
Niech $\varepsilon \gt 0$ będzie dowolne.
Ponieważ $a_n \to a$, istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że dla $n \gt N$: \[ |a_n - a| \lt \varepsilon. \]
Z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej: \[ \big| |a_n| - |a| \big| \leq |a_n - a| \lt \varepsilon. \]
Zatem $|a_n| \to |a|$. $\square$
Zbieżność ciągu $(|a_n|)$ nie implikuje zbieżności ciągu $(a_n)$.
Innymi słowy: ciąg $(|a_n|)$ może być zbieżny, podczas gdy ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny.
Przykład: Niech $a_n = (-1)^n$.
Wtedy:
Zatem $\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = 1$, ale $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ nie istnieje.
Niech $a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$.
Wtedy:
W tym przypadku oba ciągi są zbieżne. To nie jest kontrprzykład, ale ilustruje szczególny przypadek.
Niech $a_n = (-1)^n \cdot (1 + \frac{1}{n})$.
Wtedy:
Jeśli $\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = 0$, to $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$.
Innymi słowy: dla granicy równej zero implikacja działa w obie strony.
Załóżmy, że $\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = 0$.
Niech $\varepsilon \gt 0$ będzie dowolne.
Ponieważ $|a_n| \to 0$, istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że dla $n \gt N$: \[ \big| |a_n| - 0 \big| = |a_n| \lt \varepsilon. \]
Ale $|a_n - 0| = |a_n|$, więc: \[ |a_n - 0| \lt \varepsilon. \]
Zatem $a_n \to 0$. $\square$
Dla ciągu $(a_n)$ zachodzi równoważność: \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = 0. \]
| Warunek | Wniosek | Czy prawda? |
|---|---|---|
| $a_n \to a$ | $|a_n| \to |a|$ | TAK |
| $|a_n| \to g$ (dla $g \neq 0$) | $a_n$ jest zbieżny | NIE |
| $|a_n| \to 0$ | $a_n \to 0$ | TAK |
Twierdzenie 2 jest często używane w połączeniu z twierdzeniem o trzech ciągach.
Przykład: Pokazać, że $a_n = \frac{\sin n}{n} \to 0$.
Rozwiązanie: Mamy $|a_n| = \frac{|\sin n|}{n} \leq \frac{1}{n}$.
Ponieważ $0 \leq |a_n| \leq \frac{1}{n}$ i $\frac{1}{n} \to 0$, z twierdzenia o trzech ciągach $|a_n| \to 0$.
Z Twierdzenia 2: $a_n \to 0$.