Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę. Innymi słowy:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = g_1 \;\;\wedge\;\; \lim\limits_{n \to \infty} a_n = g_2 \quad \Longrightarrow \quad g_1 = g_2. \]Załóżmy nie wprost, że $g_1 \neq g_2$. Bez straty ogólności $g_1 \lt g_2$. Oznaczmy
\[ \varepsilon := \frac{g_2 - g_1}{2} \gt 0. \]Z definicji granicy:
Niech $N := \max(N_1, N_2)$. Dla dowolnego $n \geq N$ zachodzą oba warunki jednocześnie. Z nierówności trójkąta:
\[ |g_1 - g_2| = |(g_1 - a_n) + (a_n - g_2)| \leq |a_n - g_1| + |a_n - g_2| \lt \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon. \]Ale z definicji $\varepsilon$:
\[ 2\varepsilon = 2 \cdot \frac{g_2 - g_1}{2} = g_2 - g_1 = |g_1 - g_2|. \]Otrzymujemy $|g_1 - g_2| \lt |g_1 - g_2|$ — sprzeczność.
Zatem $g_1 = g_2$. $\square$
Gdyby ciąg miał dwie różne granice $g_1 \neq g_2$, to otoczenia $(g_1 - \varepsilon, g_1 + \varepsilon)$ i $(g_2 - \varepsilon, g_2 + \varepsilon)$ przy $\varepsilon = \frac{|g_2 - g_1|}{2}$ byłyby rozłączne.
Jednocześnie prawie wszystkie wyrazy ciągu musiałyby leżeć w obu tych otoczeniach — co jest niemożliwe, bo otoczenia się nie przecinają.
Dowód opiera się na dwóch elementach:
Uwaga: dowolny wybór $\varepsilon \leq \frac{|g_1 - g_2|}{2}$ również daje sprzeczność. Wybór $\varepsilon = \frac{|g_1 - g_2|}{2}$ jest najprostszy.
Pokażemy, że $|g_1 - g_2| \lt \varepsilon$ dla każdego $\varepsilon \gt 0$, co implikuje $|g_1 - g_2| = 0$, czyli $g_1 = g_2$.
Ustalmy dowolne $\varepsilon \gt 0$. Z definicji granicy:
Dla $n \geq \max(N_1, N_2)$:
\[ |g_1 - g_2| \leq |g_1 - a_n| + |a_n - g_2| \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]Ponieważ $|g_1 - g_2| \lt \varepsilon$ dla każdego $\varepsilon \gt 0$, a $|g_1 - g_2| \geq 0$, wnioskujemy $|g_1 - g_2| = 0$, czyli $g_1 = g_2$. $\square$
Jeśli $a \geq 0$ i $a \lt \varepsilon$ dla każdego $\varepsilon \gt 0$, to $a = 0$.
Przypuśćmy, że $a \gt 0$. Wtedy dla $\varepsilon_0 := a$ mamy $a \lt \varepsilon_0 = a$ — sprzeczność. $\square$
Ten prosty fakt jest fundamentalny w analizie — pojawia się w wielu dowodach korzystających z definicji $\varepsilon$-$N$ lub $\varepsilon$-$\delta$.
Dzięki jednoznaczności granicy zapis $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$ jest dobrze określony — symbol $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ oznacza konkretną, jedyną liczbę (o ile ciąg jest zbieżny).
Jeśli dowolną metodą (np. z arytmetyki granic, z twierdzenia o trzech ciągach, z monotoniczności i ograniczoności) pokażemy, że ciąg zbiega do pewnej wartości $g$, to jest to jedyna granica — nie trzeba sprawdzać, czy nie istnieje inna.
Jeśli ciąg $(a_n)$ ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, to ciąg $(a_n)$ nie jest zbieżny.
Wynika to z faktu, że jeśli $a_n \to g$, to każdy podciąg $(a_{n_k})$ też zbiega do $g$ (jednoznaczność granicy podciągu).
Podciąg parzysty: $a_{2k} = 1 \to 1$.
Podciąg nieparzysty: $a_{2k-1} = -1 \to -1$.
Ponieważ $1 \neq -1$, ciąg $(a_n)$ nie ma granicy (z jednoznaczności granicy podciągów).
Podciąg $a_{4k} = 0 \to 0$, podciąg $a_{4k+1} = 1 \to 1$. Dwie różne granice podciągów — ciąg rozbieżny.
Niech $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right)$.
Jeśli wiemy (np. z monotoniczności i ograniczoności), że ciąg jest zbieżny, to z jednoznaczności granicy możemy wyznaczyć $g$:
\[ g = \frac{1}{2}\left(g + \frac{2}{g}\right) \quad \Rightarrow \quad 2g = g + \frac{2}{g} \quad \Rightarrow \quad g = \frac{2}{g} \quad \Rightarrow \quad g^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad g = \sqrt{2}. \](Wybieramy $g = \sqrt{2} \gt 0$, bo $a_n \gt 0$ dla każdego $n$.)