Mówimy, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do liczby $g \in \mathbb{R}$ (lub: $g$ jest granicą ciągu $(a_n)$), jeśli
\[ \forall\, \varepsilon \gt 0 \;\; \exists\, N \in \mathbb{N} \;\; \forall\, n \geq N\colon \quad |a_n - g| \lt \varepsilon. \]Zapisujemy wówczas:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = g \qquad \text{lub} \qquad a_n \xrightarrow{n \to \infty} g \qquad \text{lub} \qquad a_n \to g. \]Warunek $|a_n - g| \lt \varepsilon$ oznacza, że $a_n \in (g - \varepsilon,\; g + \varepsilon)$.
Innymi słowy: każde (dowolnie małe) otoczenie $(g - \varepsilon, g + \varepsilon)$ zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu — poza co najwyżej skończenie wieloma (tymi o indeksach $n \lt N$).
Mówimy, że ciąg $(a_n)$ dąży do $+\infty$ (jest rozbieżny do $+\infty$), jeśli
\[ \forall\, M \in \mathbb{R} \;\; \exists\, N \in \mathbb{N} \;\; \forall\, n \geq N\colon \quad a_n \gt M. \]Zapisujemy: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$.
Intuicja: wyrazy ciągu przekraczają każdą, dowolnie dużą barierę $M$.
Mówimy, że ciąg $(a_n)$ dąży do $-\infty$, jeśli
\[ \forall\, M \in \mathbb{R} \;\; \exists\, N \in \mathbb{N} \;\; \forall\, n \geq N\colon \quad a_n \lt M. \]Zapisujemy: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$.
Ciąg $(a_n)$ nazywamy rozbieżnym, jeśli nie jest zbieżny do żadnej liczby $g \in \mathbb{R}$.
Wyróżniamy dwa przypadki:
Uwaga terminologiczna: w niektórych podręcznikach ciąg rozbieżny do $\pm\infty$ też nazywa się „zbieżnym" (w sensie rozszerzonym). Tu stosujemy konwencję, w której „zbieżny" oznacza granicę skończoną.
Ciąg $(a_n)$ nie jest zbieżny do $g$, jeśli:
\[ \exists\, \varepsilon_0 \gt 0 \;\; \forall\, N \in \mathbb{N} \;\; \exists\, n \geq N\colon \quad |a_n - g| \geq \varepsilon_0. \]Innymi słowy: istnieje otoczenie punktu $g$, w którym nie mieszczą się nieskończenie wiele wyrazów ciągu (dokładniej: poza tym otoczeniem jest nieskończenie wiele wyrazów).
Ustalmy $\varepsilon \gt 0$. Szukamy $N$ takiego, że dla $n \geq N$: $\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} \lt \varepsilon$.
Wystarczy wziąć $N \gt \frac{1}{\varepsilon}$ (istnieje z własności Archimedesa). Wtedy dla $n \geq N$: $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \lt \varepsilon$. $\square$
$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1} \lt \frac{1}{n}.$
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $N \gt \frac{1}{\varepsilon}$. Wtedy dla $n \geq N$: $\frac{1}{n+1} \lt \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \lt \varepsilon$. $\square$
$\left|\frac{3n+1}{2n+5} - \frac{3}{2}\right| = \left|\frac{2(3n+1) - 3(2n+5)}{2(2n+5)}\right| = \left|\frac{-13}{2(2n+5)}\right| = \frac{13}{2(2n+5)} \lt \frac{13}{4n}.$
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $N \gt \frac{13}{4\varepsilon}$. Wtedy dla $n \geq N$: $\frac{13}{4n} \leq \frac{13}{4N} \lt \varepsilon$. $\square$
$\left|\frac{(-1)^n}{n} - 0\right| = \frac{1}{n}.$ Dalej jak w przykładzie 1. $\square$
$|c - c| = 0 \lt \varepsilon$ dla każdego $\varepsilon \gt 0$ i każdego $n$. Wystarczy $N = 1$. $\square$
$\left|\frac{\sin n}{n}\right| \leq \frac{1}{n} \to 0.$ Z twierdzenia o trzech ciągach (lub wprost: $\frac{1}{n} \lt \varepsilon$ dla $n \gt \frac{1}{\varepsilon}$). $\square$
Niech $|q| \lt 1$. Jeśli $q = 0$, to oczywiste. Niech $0 \lt |q| \lt 1$. Zapiszmy $|q| = \frac{1}{1+h}$, gdzie $h \gt 0$. Z nierówności Bernoulliego:
\[ (1+h)^n \geq 1 + nh \gt nh, \]więc $|q^n| = |q|^n = \frac{1}{(1+h)^n} \lt \frac{1}{nh}$.
Dla $\varepsilon \gt 0$ bierzemy $N \gt \frac{1}{h\varepsilon}$. Wtedy dla $n \geq N$: $|q^n| \lt \frac{1}{nh} \leq \frac{1}{Nh} \lt \varepsilon$. $\square$
Dowód tego faktu jest przedstawiony osobno (T36/T37).
Dla dowolnego $M \in \mathbb{R}$ bierzemy $N \gt M$ (własność Archimedesa). Wtedy dla $n \geq N$: $a_n = n \geq N \gt M$. $\square$
Dla $M \gt 0$ bierzemy $N \gt \sqrt{M}$. Wtedy dla $n \geq N$: $n^2 \geq N^2 \gt M$. $\square$
Z nierówności Bernoulliego: $2^n = (1+1)^n \geq 1 + n \gt n$. Dla $M$ bierzemy $N \gt M$, wtedy $2^n \gt n \geq N \gt M$. $\square$
Dla $M \in \mathbb{R}$ bierzemy $N \gt -M$. Wtedy dla $n \geq N$: $-n \leq -N \lt M$. $\square$
Dla $n \geq 6$: $-n^2 + 3n = -n(n-3) \leq -\frac{n}{2} \cdot n = -\frac{n^2}{2}$ (bo $n - 3 \geq \frac{n}{2}$ dla $n \geq 6$).
Zatem $a_n \leq -\frac{n^2}{2} \to -\infty$. $\square$
Pokażemy, że ciąg nie ma granicy skończonej. Przypuśćmy, że $\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n = g$.
Weźmy $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Wtedy istnieje $N$ takie, że dla $n \geq N$: $|(-1)^n - g| \lt \frac{1}{2}$.
W szczególności dla parzystego $n \geq N$: $|1 - g| \lt \frac{1}{2}$, a dla nieparzystego $n \geq N$: $|-1 - g| \lt \frac{1}{2}$.
Z nierówności trójkąta: $2 = |1 - (-1)| = |(1-g) + (g-(-1))| \leq |1-g| + |{-1}-g| \lt \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$
Sprzeczność: $2 \lt 1$. Zatem ciąg nie ma granicy skończonej.
Ciąg nie dąży też do $+\infty$ (bo $a_{2k+1} = -1$) ani do $-\infty$ (bo $a_{2k} = 1$). Jest więc rozbieżny bez granicy. $\square$
$a_1 = -1,\; a_2 = 2,\; a_3 = -3,\; a_4 = 4,\; \dots$ Ciąg nie dąży do $+\infty$ (podciąg nieparzysty $\to -\infty$) ani do $-\infty$ (podciąg parzysty $\to +\infty$). Nie ma też granicy skończonej (bo $|a_n| = n \to \infty$). Rozbieżny bez granicy.
Kolejne wyrazy: $1,\; 0,\; -1,\; 0,\; 1,\; 0,\; -1,\; 0,\; \dots$ — ciąg okresowy o okresie 4. Nie jest zbieżny (podciągi mają różne granice: $0$, $1$, $-1$). Rozbieżny bez granicy.
| Typ | Definicja | Przykład |
|---|---|---|
| Zbieżny | $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g \in \mathbb{R}$ | $\frac{1}{n} \to 0$ |
| Rozbieżny do $+\infty$ | $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$ | $n^2 \to +\infty$ |
| Rozbieżny do $-\infty$ | $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$ | $-n \to -\infty$ |
| Rozbieżny (oscylujący) | brak granicy (nawet niewłaściwej) | $(-1)^n$ |
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę. (Dowód — osobny temat T27.)
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. (Implikacja odwrotna nie zachodzi — np. $(-1)^n$.)
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny (T25/T32).