Ciągiem liczbowym (ciągiem liczb rzeczywistych) nazywamy funkcję \[ a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \qquad n \mapsto a(n) =: a_n. \] Liczbę $a_n$ nazywamy $n$-tym wyrazem (lub $n$-tym elementem) ciągu. Ciąg oznaczamy $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ lub krócej $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ bądź $(a_n)$.
Uwaga: w niektórych podręcznikach indeksowanie zaczyna się od $n = 0$; tu przyjmujemy $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
Niech $(a_n)$ będzie ciągiem liczbowym.
\[ \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \leq a_{n+1}. \]
\[ \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \lt a_{n+1}. \]
\[ \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \geq a_{n+1}. \]
\[ \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \gt a_{n+1}. \]
Ciąg spełniający którykolwiek z powyższych warunków nazywamy monotonicznym. Ciąg ściśle rosnący lub ściśle malejący nazywamy ściśle monotonicznym.
Aby zbadać monotoniczność ciągu $(a_n)$, można:
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} \lt 0.$
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \gt 0.$
$a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 \gt 0.$
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}.$ Dla $n \geq 2$: $\frac{2}{n+1} \leq \frac{2}{3} \lt 1$, więc ciąg jest ściśle malejący od $n = 2$.
$a_1 = -1,\; a_2 = 1,\; a_3 = -1,\; \dots$ — ciąg oscyluje, nie jest monotoniczny.
Ciąg $(a_n)$ jest niemalejący od pewnego miejsca, jeśli \[ \exists\, N \in \mathbb{N}\;\; \forall\, n \geq N\colon \quad a_n \leq a_{n+1}. \] Analogicznie definiujemy pozostałe warianty. Wiele twierdzeń o ciągach monotonicznych (np. twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego) pozostaje prawdziwych przy monotoniczności „od pewnego miejsca".
\[ \exists\, M \in \mathbb{R}\;\; \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \leq M. \] Liczbę $M$ nazywamy ograniczeniem górnym ciągu.
\[ \exists\, m \in \mathbb{R}\;\; \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad a_n \geq m. \] Liczbę $m$ nazywamy ograniczeniem dolnym ciągu.
Ciąg jest ograniczony, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu, tj. \[ \exists\, M \gt 0\;\; \forall\, n \in \mathbb{N}\colon \quad |a_n| \leq M. \]
Ciąg jest nieograniczony, jeśli nie jest ograniczony, tj. \[ \forall\, M \gt 0\;\; \exists\, n \in \mathbb{N}\colon \quad |a_n| \gt M. \]
Ciąg $(a_n)$ jest ograniczony $\iff$ zbiór $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ jest ograniczony (jako podzbiór $\mathbb{R}$), tj. posiada kres górny i kres dolny.
Wówczas: \[ \inf_{n \in \mathbb{N}} a_n \leq a_n \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n \quad \text{dla każdego } n. \]
$0 \lt \frac{1}{n} \leq 1$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$. Ciąg ograniczony: $m = 0$, $M = 1$. (Ściślej: $|a_n| \leq 1$.)
$|a_n| = 1$ dla każdego $n$. Ciąg ograniczony: $|a_n| \leq 1$.
$\frac{1}{2} \leq a_n \lt 1$ dla każdego $n \geq 1$. Ciąg ograniczony.
$|a_n| = |\sin n| \leq 1$ dla każdego $n$. Ciąg ograniczony (ale niemonotoniczny).
$|a_n| = |c|$ dla każdego $n$. Ciąg ograniczony (i monotoniczny — jednocześnie niemalejący i nierosnący).
Dla dowolnego $M \gt 0$ istnieje $n \gt M$ (własność Archimedesa). Ciąg nieograniczony (z góry).
Ciąg ściśle rosnący i nieograniczony z góry, bo $2^n \geq n$ dla każdego $n \geq 1$.
$|a_n| = n \to \infty$. Ciąg nieograniczony (zarówno z góry, jak i z dołu).
Ściśle rosnący i nieograniczony z góry.
Jeśli $(a_n)$ jest niemalejący, to $a_1 \leq a_n$ dla każdego $n$, więc $a_1$ jest ograniczeniem dolnym.
Jeśli $(a_n)$ jest nierosnący, to $a_n \leq a_1$ dla każdego $n$, więc $a_1$ jest ograniczeniem górnym.
Niech $(a_n)$ będzie niemalejący. Przez indukcję: $a_1 \leq a_2$ (z definicji). Jeśli $a_1 \leq a_k$, to $a_1 \leq a_k \leq a_{k+1}$. Zatem $a_1 \leq a_n$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$. $\square$
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dokładniej:
Dowód tego twierdzenia opiera się na aksjomacie kresu górnego i jest przedstawiony osobno.
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest niemalejący i nieograniczony z góry, to $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$.
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest nierosnący i nieograniczony z dołu, to $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$.
Zatem: każdy ciąg monotoniczny ma granicę (skończoną lub nieskończoną).
Ściśle rosnący (pokazano wyżej). Ograniczony: $\frac{1}{2} \leq a_n \lt 1$. Zatem zbieżny: $\lim\limits a_n = \sup a_n = 1$.
Ściśle malejący (pokazano wyżej). Ograniczony: $0 \lt a_n \leq 1$. Zatem zbieżny: $\lim\limits a_n = \inf a_n = 0$.
Ściśle rosnący i nieograniczony z góry. Zatem $\lim\limits a_n = +\infty$.
Ściśle malejący i nieograniczony z dołu. Zatem $\lim\limits a_n = -\infty$.
Można pokazać (np. korzystając z nierówności Bernoulliego i dwumianu Newtona), że ciąg ten jest ściśle rosnący i ograniczony z góry przez $3$. Zatem jest zbieżny; jego granicą jest liczba $e \approx 2{,}718\ldots$
$|a_n| = 1$ — ograniczony. Ale nie jest monotoniczny (oscyluje). Ciąg ten jest rozbieżny — nie posiada granicy.
Ten przykład pokazuje, że ograniczoność bez monotoniczności nie gwarantuje zbieżności.
| Ciąg | Monotoniczny? | Ograniczony? | Zbieżny? |
|---|---|---|---|
| $\frac{n}{n+1}$ | rosnący | tak | tak ($\to 1$) |
| $\frac{1}{n}$ | malejący | tak | tak ($\to 0$) |
| $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ | rosnący | tak | tak ($\to e$) |
| $2^n$ | rosnący | nie | nie ($\to +\infty$) |
| $(-1)^n$ | nie | tak | nie |
| $(-1)^n \cdot n$ | nie | nie | nie |
| $c$ (stały) | tak | tak | tak ($\to c$) |