Istnienie logarytmu

Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Aby udowodnić jego istnienie, korzystamy z własności funkcji wykładniczej $a^x$ (ciągłość, monotoniczność, obraz) oraz twierdzenia o funkcji odwrotnej lub bezpośrednio z aksjomatu kresu górnego.

Przypomnienie: funkcja wykładnicza

Niech $a > 0$, $a \ne 1$. Funkcja wykładnicza $f: \mathbb{R} \to (0, +\infty)$ dana wzorem \[ f(x) = a^x \] ma następujące własności:

Jest ciągła na całym $\mathbb{R}$
Jest ściśle monotoniczna: rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$
Ma obraz równy $(0, +\infty)$, tzn. $f(\mathbb{R}) = (0, +\infty)$
$\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0$ dla $a > 1$
$\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = 0$ i $\lim\limits_{x \to -\infty} a^x = +\infty$ dla $0 < a < 1$

Twierdzenie o istnieniu logarytmu

Twierdzenie: Niech $a > 0$, $a \ne 1$. Dla każdej liczby $y > 0$ istnieje dokładnie jedna liczba $x \in \mathbb{R}$ taka, że \[ a^x = y. \]

Liczbę $x$ nazywamy logarytmem liczby $y$ przy podstawie $a$ i oznaczamy: \[ x = \log_a y. \]

Dowód istnienia (metoda supremum)

Ustalmy $a > 1$ i $y > 0$. Rozważmy zbiór: \[ S = \{t \in \mathbb{R} : a^t < y\}. \]

$S$ jest niepusty: Ponieważ $\lim\limits_{t \to -\infty} a^t = 0 < y$, istnieje $t_0$ takie, że $a^{t_0} < y$, więc $t_0 \in S$.
$S$ jest ograniczony z góry: Ponieważ $\lim\limits_{t \to +\infty} a^t = +\infty$, istnieje $t_1$ takie, że $a^{t_1} > y$. Dla każdego $t > t_1$ mamy $a^t > a^{t_1} > y$ (z monotoniczności), więc $t \notin S$. Zatem $t_1$ jest ograniczeniem górnym $S$.
Istnienie supremum: Z aksjomatu kresu górnego, istnieje $x = \sup S$.
Pokazujemy, że $a^x = y$: Dowód nie wprost.

Przypadek $a^x < y$

Załóżmy, że $a^x < y$. Z ciągłości funkcji wykładniczej, istnieje $\delta > 0$ takie, że $a^{x+\delta} < y$ (bo $a^{x+\delta} \to a^x$ gdy $\delta \to 0$).

Wtedy $x + \delta \in S$, co przeczy temu, że $x = \sup S$.

Przypadek $a^x > y$

Załóżmy, że $a^x > y$. Z ciągłości funkcji wykładniczej, istnieje $\delta > 0$ takie, że $a^{x-\delta} > y$.

Dla każdego $t \in S$ mamy $a^t < y < a^{x-\delta}$, więc $t < x - \delta$ (z monotoniczności). Zatem $x - \delta$ jest ograniczeniem górnym $S$, co przeczy temu, że $x = \sup S$.

Wniosek

Jedyna możliwość to $a^x = y$. Dla $0 < a < 1$ dowód jest analogiczny (używamy infimum lub zamieniamy nierówności).

Dowód jednoznaczności

Załóżmy, że $a^{x_1} = y$ i $a^{x_2} = y$ dla pewnych $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.

Wtedy $a^{x_1} = a^{x_2}$. Ponieważ funkcja $x \mapsto a^x$ jest ściśle monotoniczna (rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$), jest w szczególności różnowartościowa.

Zatem $x_1 = x_2$, co dowodzi jednoznaczności.

Alternatywny dowód (twierdzenie o funkcji odwrotnej)

Można też skorzystać z ogólnego twierdzenia:

Twierdzenie: Jeśli $f: A \to B$ jest funkcją ciągłą, ściśle monotoniczną i surjektywną (tzn. $f(A) = B$), to istnieje funkcja odwrotna $f^{-1}: B \to A$, która jest również ciągła i ściśle monotoniczna.

Stosując to twierdzenie do funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$, gdzie:

$A = \mathbb{R}$, $B = (0, +\infty)$
$f$ jest ciągła i ściśle monotoniczna
$f(\mathbb{R}) = (0, +\infty)$ (surjektywność)

otrzymujemy istnienie funkcji odwrotnej $f^{-1} = \log_a: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$.

Definicja logarytmu

Niech $a > 0$, $a \ne 1$. Logarytmem liczby $y > 0$ przy podstawie $a$ nazywamy jedyną liczbę $x \in \mathbb{R}$ spełniającą równanie $a^x = y$. Oznaczamy: \[ \log_a y = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = y. \]

Funkcja $\log_a: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej $a^x$.

Podstawowe własności logarytmu

Dla $a > 0$, $a \ne 1$ oraz $x, y > 0$:

$a^{\log_a y} = y$ (definicja)
$\log_a(a^x) = x$ (definicja)
$\log_a 1 = 0$ (bo $a^0 = 1$)
$\log_a a = 1$ (bo $a^1 = a$)
$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$ dla $r \in \mathbb{R}$
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ (zmiana podstawy)

Dowód własności $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Niech $u = \log_a x$ i $v = \log_a y$. Z definicji logarytmu: \[ a^u = x, \qquad a^v = y. \] Zatem: \[ x \cdot y = a^u \cdot a^v = a^{u+v}. \] Z definicji logarytmu: \[ \log_a(x \cdot y) = u + v = \log_a x + \log_a y. \]

Monotoniczność i ciągłość logarytmu

Funkcja $\log_a: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$:

Jest ściśle rosnąca dla $a > 1$
Jest ściśle malejąca dla $0 < a < 1$
Jest ciągła na $(0, +\infty)$
$\lim\limits_{y \to +\infty} \log_a y = +\infty$ i $\lim\limits_{y \to 0^+} \log_a y = -\infty$ dla $a > 1$
$\lim\limits_{y \to +\infty} \log_a y = -\infty$ i $\lim\limits_{y \to 0^+} \log_a y = +\infty$ dla $0 < a < 1$

Monotoniczność i ciągłość wynikają z faktu, że logarytm jest funkcją odwrotną do ciągłej, ściśle monotonicznej funkcji wykładniczej.

Szczególne przypadki

Logarytm naturalny: $\ln y = \log_e y$, gdzie $e \approx 2{,}718$ (podstawa Eulera)
Logarytm dziesiętny: $\log y = \log_{10} y$
Logarytm binarny: $\log_2 y$ (używany w informatyce)

Co warto zapamiętać

Istnienie: Dla każdego $y > 0$ istnieje dokładnie jedno $x$ takie, że $a^x = y$.
Dowód: Używamy aksjomatu kresu górnego (supremum zbioru $\{t : a^t < y\}$) lub twierdzenia o funkcji odwrotnej.
Jednoznaczność: Wynika ze ścisłej monotoniczności funkcji wykładniczej.
Kluczowe własności: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a(x^r) = r \log_a x$.
Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej: $\log_a(a^x) = x$ i $a^{\log_a y} = y$.

T24. Istnienie logarytmu