Potęga $a^x$ dla $a \gt 0$ i $x \in \mathbb{R}$ została zdefiniowana jako $a^x = \sup\{a^r : r \in \mathbb{Q}, r \lt x\}$ dla $a \gt 1$ (analogicznie dla $0 \lt a \lt 1$). Poniżej przedstawiamy pełne dowody podstawowych własności.
Dla $a, b \gt 0$ i $x, y \in \mathbb{R}$ zachodzą:
Dla $a \gt 1$ i $x \in \mathbb{R}$ definiujemy: \[ a^x := \sup\{a^r : r \in \mathbb{Q},\ r \lt x\}. \]
Dla $0 \lt a \lt 1$ i $x \in \mathbb{R}$ definiujemy: \[ a^x := \inf\{a^r : r \in \mathbb{Q},\ r \lt x\}. \]
Dla $a = 1$ przyjmujemy $1^x = 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Alternatywnie: $a^x = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n}$, gdzie $(r_n)$ jest dowolnym ciągiem wymiernym zbieżnym do $x$.
Niech $a \gt 1$ i $x, y \in \mathbb{R}$. Korzystamy z definicji przez ciągi.
Niech $(r_n)$ i $(s_n)$ będą ciągami wymiernymi takimi, że $r_n \to x$ i $s_n \to y$.
Z definicji potęgi rzeczywistej: \[ a^x = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n}, \qquad a^y = \lim\limits_{n \to \infty} a^{s_n}. \]
Ponieważ $(r_n + s_n)$ jest ciągiem wymiernym zbieżnym do $x + y$, mamy: \[ a^{x+y} = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n + s_n}. \]
Z własności potęgi wymiernej: $a^{r_n + s_n} = a^{r_n} \cdot a^{s_n}$.
Zatem: \[ a^{x+y} = \lim\limits_{n \to \infty} (a^{r_n} \cdot a^{s_n}) = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} a^{s_n} = a^x \cdot a^y. \]
Ostatnia równość wynika z twierdzenia o granicy iloczynu ciągów.
Wynika bezpośrednio z własności 1. Mamy: \[ a^x = a^{(x-y)+y} = a^{x-y} \cdot a^y. \]
Dzieląc obie strony przez $a^y \gt 0$: \[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}. \]
W szczególności dla $x = 0$: $a^{-y} = \dfrac{a^0}{a^y} = \dfrac{1}{a^y}$.
Niech $a \gt 1$ i $x, y \in \mathbb{R}$. Rozważamy kilka przypadków.
Niech $y = \frac{p}{q}$, gdzie $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$, $q \geq 1$.
Niech $(r_n)$ będzie ciągiem wymiernym zbieżnym do $x$. Wtedy: \[ a^x = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n}. \]
Z ciągłości funkcji $t \mapsto t^{p/q}$ dla $t \gt 0$: \[ (a^x)^{p/q} = \left(\lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n}\right)^{p/q} = \lim\limits_{n \to \infty} (a^{r_n})^{p/q} = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n \cdot p/q}. \]
Ponieważ $(r_n \cdot \frac{p}{q})$ jest ciągiem wymiernym zbieżnym do $x \cdot \frac{p}{q}$: \[ (a^x)^{p/q} = a^{x \cdot p/q}. \]
Niech $(s_n)$ będzie ciągiem wymiernym zbieżnym do $y$. Z przypadku 1: \[ (a^x)^{s_n} = a^{x \cdot s_n}. \]
Niech $b = a^x \gt 0$. Wtedy: \[ (a^x)^y = b^y = \lim\limits_{n \to \infty} b^{s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (a^x)^{s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} a^{x \cdot s_n}. \]
Ponieważ $(x \cdot s_n)$ jest ciągiem zbieżnym do $x \cdot y$: \[ (a^x)^y = a^{x \cdot y}. \]
Niech $a, b \gt 0$ i $x \in \mathbb{R}$. Niech $(r_n)$ będzie ciągiem wymiernym zbieżnym do $x$.
Z definicji potęgi rzeczywistej: \[ (a \cdot b)^x = \lim\limits_{n \to \infty} (a \cdot b)^{r_n}. \]
Z własności potęgi wymiernej: $(a \cdot b)^{r_n} = a^{r_n} \cdot b^{r_n}$.
Zatem: \[ (a \cdot b)^x = \lim\limits_{n \to \infty} (a^{r_n} \cdot b^{r_n}) = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} b^{r_n} = a^x \cdot b^x. \]
Wynika z własności 4. Mamy: \[ a^x = \left(\frac{a}{b} \cdot b\right)^x = \left(\frac{a}{b}\right)^x \cdot b^x. \]
Dzieląc obie strony przez $b^x \gt 0$: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}. \]
$a^0 = 1$: Z własności 1 mamy: \[ a^x = a^{x+0} = a^x \cdot a^0. \] Dzieląc przez $a^x \gt 0$: $a^0 = 1$.
$a^1 = a$: Niech $(r_n)$ będzie ciągiem wymiernym zbieżnym do $1$. Wtedy: \[ a^1 = \lim\limits_{n \to \infty} a^{r_n}. \] Ponieważ dla $r \in \mathbb{Q}$ mamy $a^r \to a^1 = a$ (z ciągłości potęgi wymiernej w punkcie $1$), oraz dla $r_n = 1$ (ciąg stały) mamy $a^{r_n} = a$, więc $a^1 = a$.
Alternatywnie: $a^1 = a^{1/1} = \sqrt[1]{a^1} = a$ z definicji potęgi wymiernej.
Twierdzenie: Jeśli $a \gt 1$ i $x \lt y$, to $a^x \lt a^y$.
Dowód: Niech $x \lt y$. Z gęstości $\mathbb{Q}$ w $\mathbb{R}$, istnieją $r, s \in \mathbb{Q}$ takie, że: \[ x \lt r \lt s \lt y. \]
Z definicji supremum: \[ a^x = \sup\{a^t : t \in \mathbb{Q}, t \lt x\} \le a^r, \] ponieważ dla $t \lt x \lt r$ mamy $a^t \lt a^r$ (monotoniczność potęgi wymiernej).
Podobnie: \[ a^y = \sup\{a^t : t \in \mathbb{Q}, t \lt y\} \ge a^s, \] ponieważ $s \lt y$ i $a^s \in \{a^t : t \in \mathbb{Q}, t \lt y\}$.
Ponieważ $r \lt s$ i $a \gt 1$, mamy $a^r \lt a^s$ (monotoniczność potęgi wymiernej).
Zatem: \[ a^x \le a^r \lt a^s \le a^y, \] czyli $a^x \lt a^y$.
Twierdzenie: Jeśli $0 \lt a \lt 1$ i $x \lt y$, to $a^x \gt a^y$.
Dowód: Niech $b = \frac{1}{a} \gt 1$. Wtedy: \[ a^x = \left(\frac{1}{b}\right)^x = \frac{1}{b^x}, \qquad a^y = \frac{1}{b^y}. \]
Z własności 7, dla $x \lt y$ mamy $b^x \lt b^y$.
Zatem: \[ a^x = \frac{1}{b^x} \gt \frac{1}{b^y} = a^y. \]
Twierdzenie: Funkcja $f(x) = a^x$ jest ciągła na $\mathbb{R}$ dla każdego $a \gt 0$, $a \ne 1$.
Dowód: Pokażemy ciągłość w dowolnym punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$.
Pokażemy, że $\lim\limits_{x \to 0} a^x = a^0 = 1$.
Niech $a \gt 1$. Dla $\varepsilon \gt 0$ szukamy $\delta \gt 0$ takiego, że $|x| \lt \delta \Rightarrow |a^x - 1| \lt \varepsilon$.
Wybierzmy $n \in \mathbb{N}$ takie, że $a^{1/n} - 1 \lt \varepsilon$ i $1 - a^{-1/n} \lt \varepsilon$. (Takie $n$ istnieje, bo $a^{1/n} \to 1$ gdy $n \to \infty$.)
Niech $\delta = \frac{1}{n}$. Dla $|x| \lt \delta$: \[ a^{-1/n} \lt a^x \lt a^{1/n}. \]
Zatem: \[ |a^x - 1| \lt \max(a^{1/n} - 1, 1 - a^{-1/n}) \lt \varepsilon. \]
Mamy: \[ \lim\limits_{x \to x_0} a^x = \lim\limits_{h \to 0} a^{x_0 + h} = \lim\limits_{h \to 0} a^{x_0} \cdot a^h = a^{x_0} \cdot \lim\limits_{h \to 0} a^h = a^{x_0} \cdot 1 = a^{x_0}. \]
Korzystamy z własności 1 i ciągłości w punkcie $0$.
Twierdzenie: Dla $a \gt 0$, $a \ne 1$, funkcja $f(x) = a^x$ jest bijekcją z $\mathbb{R}$ na $(0, +\infty)$.
Dowód:
Niech $a \gt 1$. Mamy: \[ \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0, \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} a^x = +\infty. \]
Z twierdzenia Darboux (o wartości pośredniej) dla funkcji ciągłej $f(x) = a^x$, dla każdego $y \in (0, +\infty)$ istnieje $x \in \mathbb{R}$ takie, że $f(x) = y$.
Dla $a \gt 1$:
Dla $0 \lt a \lt 1$:
Niech $a \gt 1$. Zapiszmy $a = 1 + h$, gdzie $h \gt 0$.
Dla $n \in \mathbb{N}$, z nierówności Bernoulliego: \[ a^n = (1 + h)^n \ge 1 + nh. \]
Zatem $a^n \to +\infty$ gdy $n \to \infty$.
Dla dowolnego $x \gt 0$, niech $n = \lfloor x \rfloor$. Wtedy $n \le x \lt n+1$ i: \[ a^n \le a^x \lt a^{n+1}. \]
Ponieważ $a^n \to +\infty$ gdy $n \to \infty$ (czyli gdy $x \to +\infty$), mamy $a^x \to +\infty$.