T21. Funkcje elementarne — przegląd, wykresy, własności

Funkcje elementarne to funkcje, które można zbudować ze stałych i zmiennej $x$ za pomocą skończonej liczby działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie) oraz składania z funkcjami: wielomianowymi, wykładniczymi, logarytmicznymi, trygonometrycznymi i ich odwrotnościami.

1. Funkcje wielomianowe i wymierne

Funkcja stała

$f(x) = c$, gdzie $c \in \mathbb{R}$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $\{c\}$
Własności: parzysta, nieparzysta (tylko dla $c=0$), ograniczona

Funkcja liniowa

$f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$
Własności: różnowartościowa, rosnąca dla $a > 0$, malejąca dla $a < 0$

$f(x) = -x$

Funkcja kwadratowa

$f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \ne 0$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $[q, +\infty)$ dla $a > 0$ lub $(-\infty, q]$ dla $a < 0$, gdzie $q = -\frac{\Delta}{4a}$
Własności: ma wierzchołek w $\left(-\frac{b}{2a}, q\right)$, symetryczna względem osi $x = -\frac{b}{2a}$

$f(x) = x^2$

Funkcja wielomianowa stopnia $n$

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$, gdzie $a_n \ne 0$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Własności: ciągła, ma co najwyżej $n$ miejsc zerowych
Dla $n$ nieparzystego: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ (lub odwrotnie)
Dla $n$ parzystego: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ lub $-\infty$

Funkcja wymierna

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdzie $P, Q$ są wielomianami, $Q \not\equiv 0$.

Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}$
Własności: może mieć asymptoty pionowe (gdzie $Q(x) = 0$) i poziome/ukośne

$f(x) = \frac{1}{x}$

2. Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa

$f(x) = x^a$, gdzie $a \in \mathbb{R}$.

Wykładnik $a$	Dziedzina	Własności
$a \in \mathbb{N}$, $a$ parzyste	$\mathbb{R}$	parzysta, $f(x) \ge 0$
$a \in \mathbb{N}$, $a$ nieparzyste	$\mathbb{R}$	nieparzysta, rosnąca
$a < 0$, $a \in \mathbb{Z}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	asymptota w $x = 0$
$a = \frac{1}{n}$, $n$ parzyste	$[0, +\infty)$	$f(x) \ge 0$, rosnąca
$a = \frac{1}{n}$, $n$ nieparzyste	$\mathbb{R}$	nieparzysta, rosnąca

$f(x) = x^3$

$f(x) = \sqrt{x}$

3. Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza

$f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$, $a \ne 1$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $(0, +\infty)$
Własności:
- Dla $a > 1$: ściśle rosnąca, $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$
- Dla $0 < a < 1$: ściśle malejąca, $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$
- $a^0 = 1$ (wykres przechodzi przez $(0, 1)$)
- różnowartościowa, ciągła

$f(x) = e^x$ (lub $2^x$)

$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

4. Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna

$f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \ne 1$. Jest to funkcja odwrotna do $a^x$.

Dziedzina: $(0, +\infty)$
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$
Własności:
- Dla $a > 1$: ściśle rosnąca
- Dla $0 < a < 1$: ściśle malejąca
- $\log_a 1 = 0$ (wykres przechodzi przez $(1, 0)$)
- $\log_a a = 1$
- asymptota pionowa: $x = 0$
- różnowartościowa, ciągła

$f(x) = \ln x$ (lub $\log_2 x$)

5. Funkcje trygonometryczne

Funkcja sinus

$f(x) = \sin x$

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $[-1, 1]$
Okres: $2\pi$
Własności: nieparzysta, ograniczona, ciągła
Miejsca zerowe: $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Funkcja cosinus

$f(x) = \cos x$

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $[-1, 1]$
Okres: $2\pi$
Własności: parzysta, ograniczona, ciągła
Miejsca zerowe: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$f(x) = \sin x$

$f(x) = \cos x$

Funkcja tangens

$f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\}$
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$
Okres: $\pi$
Własności: nieparzysta, nieograniczona, asymptoty pionowe w $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Funkcja cotangens

$f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$
Okres: $\pi$
Własności: nieparzysta, nieograniczona, asymptoty pionowe w $x = k\pi$

$f(x) = \tan x$

6. Funkcje cyklometryczne (odwrotne do trygonometrycznych)

Arcus sinus

$f(x) = \arcsin x$ — funkcja odwrotna do $\sin x$ ograniczonego do $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Dziedzina: $[-1, 1]$
Zbiór wartości: $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
Własności: nieparzysta, rosnąca

Arcus cosinus

$f(x) = \arccos x$ — funkcja odwrotna do $\cos x$ ograniczonego do $[0, \pi]$.

Dziedzina: $[-1, 1]$
Zbiór wartości: $[0, \pi]$
Własności: malejąca

Arcus tangens

$f(x) = \arctan x$ — funkcja odwrotna do $\tan x$ ograniczonego do $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
Własności: nieparzysta, rosnąca, $\lim_{x \to \pm\infty} \arctan x = \pm\frac{\pi}{2}$

$f(x) = \arctan x$

7. Wartość bezwzględna i część całkowita

Wartość bezwzględna

$f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $[0, +\infty)$
Własności: parzysta, ciągła, $|x| \ge 0$

Część całkowita (podłoga)

$f(x) = \lfloor x \rfloor$ — największa liczba całkowita nie większa od $x$.

Dziedzina: $\mathbb{R}$
Zbiór wartości: $\mathbb{Z}$
Własności: funkcja schodkowa, nieciągła w punktach całkowitych

$f(x) = |x|$

$f(x) = \lfloor x \rfloor$

Podsumowanie — co warto zapamiętać

Wielomiany: dziedzina $\mathbb{R}$, ciągłe, stopień określa zachowanie w $\pm\infty$.
Funkcje wymierne: mogą mieć asymptoty pionowe i poziome.
Funkcja wykładnicza $a^x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, +\infty)$, przechodzi przez $(0,1)$.
Funkcja logarytmiczna $\log_a x$: dziedzina $(0, +\infty)$, wartości $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$.
$\sin x$, $\cos x$: okresowe ($2\pi$), ograniczone do $[-1, 1]$.
$\tan x$, $\cot x$: okresowe ($\pi$), nieograniczone, mają asymptoty pionowe.
Funkcje cyklometryczne: odwrotne do trygonometrycznych na odpowiednich przedziałach.