Funkcję $f\colon D \to \mathbb{R}$ (gdzie $D \subseteq \mathbb{R}$) nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba $T \gt 0$ taka, że: \[ \forall\, x \in D\colon\; x + T \in D \;\;\wedge\;\; f(x + T) = f(x). \] Liczbę $T$ nazywamy okresem funkcji $f$.
Intuicja: wartości funkcji powtarzają się co $T$ — wykres jest „kopią samego siebie" przesuniętą o $T$ wzdłuż osi $OX$.
Okresem zasadniczym (podstawowym) funkcji okresowej $f$ nazywamy najmniejszy okres dodatni $T_0 \gt 0$, o ile taki istnieje: \[ T_0 = \min\{T \gt 0 : \forall\, x \in D\colon f(x+T) = f(x)\}. \]
Funkcja Dirichleta $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ jest okresowa — każda liczba wymierna $r \gt 0$ jest jej okresem (bo $x \in \mathbb{Q} \iff x + r \in \mathbb{Q}$). Ale nie istnieje najmniejszy okres dodatni (bo w zbiorze $\{r \in \mathbb{Q} : r \gt 0\}$ nie ma minimum).
Okres zasadniczy: $T_0 = 2\pi$.
Dowód, że $2\pi$ jest okresem: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. $\checkmark$
Dowód, że $2\pi$ jest najmniejszym okresem: Gdyby $0 \lt T \lt 2\pi$ był okresem, to $\sin T = \sin(0 + T) = \sin 0 = 0$, więc $T = k\pi$ dla pewnego $k \in \mathbb{Z}$. Jedyna możliwość w $(0, 2\pi)$ to $T = \pi$. Ale $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi) = \sin\frac{3\pi}{2} = -1 \neq 1 = \sin\frac{\pi}{2}$. Sprzeczność. $\square$
Okres zasadniczy: $T_0 = 2\pi$.
Dowód: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$. Minimalizm okresu — analogicznie jak dla sinusa. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R}$.
Okres zasadniczy: $T_0 = \pi$.
Dowód: $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$. $\checkmark$
Okres $\tan x$ jest dwa razy mniejszy niż okres $\sin x$ i $\cos x$.
Okres zasadniczy: $T_0 = \frac{2\pi}{3}$.
Dowód: $\sin(3(x + \frac{2\pi}{3})) = \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x)$. $\checkmark$
Okres zasadniczy: $T_0 = \pi$.
Dowód: $|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$. Okres $\pi$ jest mniejszy niż $2\pi$, bo wartość bezwzględna „składa" ujemne łuki do góry. $\checkmark$
$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, $f\colon \mathbb{R} \to [0, 1)$.
Okres zasadniczy: $T_0 = 1$.
Dowód: $\{x + 1\} = (x+1) - \lfloor x + 1 \rfloor = (x+1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$. $\checkmark$
Jeśli $f$ ma okres zasadniczy $T_0$, to funkcja $g(x) = f(ax + b)$ (gdzie $a \neq 0$, $b \in \mathbb{R}$) ma okres zasadniczy: \[ T_g = \frac{T_0}{|a|}. \]
$g(x + T_g) = f(a(x + T_g) + b) = f(ax + aT_g + b) = f(ax + b + T_0) = f(ax + b) = g(x)$.
(Użyliśmy $aT_g = a \cdot \frac{T_0}{|a|} = \pm T_0$, a $f$ ma okres $T_0$, więc $f(y \pm T_0) = f(y)$.) $\square$
Przesunięcie $b$ nie zmienia okresu — zmienia jedynie fazę (przesunięcie wykresu w poziomie).
Gdyby $T \gt 0$ był okresem, to $x + T = f(x+T) = f(x) = x$, czyli $T = 0$. Sprzeczność. $\times$
Gdyby $T \gt 0$ był okresem, to $(x+T)^2 = x^2$ dla każdego $x$, czyli $2xT + T^2 = 0$ dla każdego $x$. Dla $x = 0$: $T^2 = 0$, więc $T = 0$. Sprzeczność. $\times$
Gdyby $T \gt 0$ był okresem, to $e^{x+T} = e^x$, czyli $e^T = 1$, więc $T = 0$. Sprzeczność. $\times$
Nie jest okresowa, mimo że zawiera składnik okresowy. Gdyby $T$ był okresem: $(x+T)\sin(x+T) = x \sin x$ dla każdego $x$. Dla $x = 0$: $T \sin T = 0$, więc $\sin T = 0$, czyli $T = k\pi$. Ale dla $x = \frac{\pi}{2}$: $(\frac{\pi}{2} + k\pi)\sin(\frac{\pi}{2} + k\pi) = \frac{\pi}{2} \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$, co daje $(\frac{\pi}{2} + k\pi)(\pm 1) = \frac{\pi}{2}$, a to nie zachodzi dla $k \neq 0$. $\times$
Jeśli $f$ ma okres $T_1$ i $g$ ma okres $T_2$, a iloraz $\frac{T_1}{T_2} \in \mathbb{Q}$ (jest wymierny), to $f + g$ jest okresowa.
Niech $\frac{T_1}{T_2} = \frac{p}{q}$, gdzie $p, q \in \mathbb{N}$. Wtedy $T = pT_2 = qT_1$.
Sprawdzamy: \[ (f+g)(x+T) = f(x + qT_1) + g(x + pT_2) = f(x) + g(x) = (f+g)(x). \quad \square \]
Uwaga: $T = pT_2 = qT_1$ jest okresem $f+g$, ale niekoniecznie okresem zasadniczym.
Jeśli $\frac{T_1}{T_2} \notin \mathbb{Q}$, to $f + g$ nie musi być okresowa.
Kontrprzykład: $f(x) = \sin x$ (okres $2\pi$) i $g(x) = \sin(\sqrt{2}\, x)$ (okres $\frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \pi\sqrt{2}$).
Iloraz okresów: $\frac{2\pi}{\pi\sqrt{2}} = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Funkcja $h(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}\, x)$ nie jest okresowa.
Dowód: gdyby $T \gt 0$ był okresem $h$, to $h(T) = h(0) = 0$, czyli $\sin T + \sin(\sqrt{2}\, T) = 0$. Ponadto $h'(0+) = h'(T+)$, co daje dodatkowe warunki. Analiza prowadzi do sprzeczności z niewymiernością $\sqrt{2}$.
Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest okresowa i ciągła, to $f$ jest ograniczona.
Dowód: $f$ jest ciągła na domkniętym przedziale $[0, T_0]$, więc z twierdzenia Weierstrassa jest tam ograniczona. Ponieważ $f$ powtarza się co $T_0$, jest ograniczona na całym $\mathbb{R}$.
Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest okresowa i ciągła, to $f$ jest jednostajnie ciągła na $\mathbb{R}$.
Dowód: $f$ jest ciągła na zwartym $[0, T_0]$, więc jest tam jednostajnie ciągła (tw. Cantora). Okresowość przenosi tę własność na cały $\mathbb{R}$.
Jeśli $f$ jest okresowa z okresem $T$ i całkowalna, to: \[ \int_{a}^{a+T} f(x)\, dx = \int_{0}^{T} f(x)\, dx \quad \text{dla każdego } a \in \mathbb{R}. \]
Całka po jednym pełnym okresie nie zależy od punktu startowego.
Jeśli $f$ jest okresowa i niestała, to $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ nie istnieje.
Dowód: gdyby $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$, to dla ciągu $x_n = nT$ mamy $f(x_n) = f(0) \to L$, więc $L = f(0)$. Ale dla $x_n = nT + c$ (gdzie $f(c) \neq f(0)$) mamy $f(x_n) = f(c) \to L$, więc $L = f(c) \neq f(0)$. Sprzeczność.
$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$
Dowód okresowości: jeśli $r \in \mathbb{Q}$, $r \gt 0$, to $x \in \mathbb{Q} \iff x + r \in \mathbb{Q}$, więc $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x+r) = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$.
| Funkcja | Okres zasadniczy |
|---|---|
| $\sin x$, $\cos x$ | $2\pi$ |
| $\tan x$, $\cot x$ | $\pi$ |
| $|\sin x|$, $|\cos x|$ | $\pi$ |
| $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ | $\pi$ |
| $\sin(\omega x)$, $\cos(\omega x)$ | $\dfrac{2\pi}{\omega}$ |
| $\tan(\omega x)$ | $\dfrac{\pi}{\omega}$ |
| $\{x\}$ (część ułamkowa) | $1$ |
| $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ (Dirichlet) | brak okresu zasadniczego |