Funkcje monotoniczne

Definicje

Niech $f\colon A \to \mathbb{R}$, gdzie $A \subseteq \mathbb{R}$.

1. Funkcja niemalejąca (rosnąca w sensie słabym)

\[ \forall\, x_1, x_2 \in A\colon \quad x_1 \lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1) \leq f(x_2). \]

2. Funkcja ściśle rosnąca

\[ \forall\, x_1, x_2 \in A\colon \quad x_1 \lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1) \lt f(x_2). \]

3. Funkcja nierosnąca (malejąca w sensie słabym)

\[ \forall\, x_1, x_2 \in A\colon \quad x_1 \lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1) \geq f(x_2). \]

4. Funkcja ściśle malejąca

\[ \forall\, x_1, x_2 \in A\colon \quad x_1 \lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1) \gt f(x_2). \]

Funkcję spełniającą którykolwiek z powyższych warunków nazywamy monotoniczną. Funkcję ściśle rosnącą lub ściśle malejącą nazywamy ściśle monotoniczną.

Równoważne sformułowania

$f$ jest ściśle rosnąca $\iff$ dla $x_1 \neq x_2$: $\;\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \gt 0$ (iloraz różnicowy jest dodatni).

$f$ jest ściśle malejąca $\iff$ dla $x_1 \neq x_2$: $\;\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \lt 0$ (iloraz różnicowy jest ujemny).

Zestawienie

Typ	Warunek ($x_1 \lt x_2$)	Ścisła?
niemalejąca	$f(x_1) \leq f(x_2)$	nie
ściśle rosnąca	$f(x_1) \lt f(x_2)$	tak
nierosnąca	$f(x_1) \geq f(x_2)$	nie
ściśle malejąca	$f(x_1) \gt f(x_2)$	tak

Każda funkcja ściśle rosnąca jest niemalejąca (ale nie odwrotnie). Analogicznie: ściśle malejąca $\Rightarrow$ nierosnąca.

Przykłady funkcji ściśle rosnących

$f(x) = x$ (identyczność)
$f(x) = 2x + 5$ (funkcja liniowa z $a \gt 0$)
$f(x) = x^3$ na $\mathbb{R}$
$f(x) = \sqrt{x}$ na $[0, +\infty)$
$f(x) = \ln x$ na $(0, +\infty)$
$f(x) = a^x$ na $\mathbb{R}$ dla $a \gt 1$
$f(x) = \tan x$ na $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

Przykłady funkcji ściśle malejących

$f(x) = -x$
$f(x) = -3x + 7$ (funkcja liniowa z $a \lt 0$)
$f(x) = \frac{1}{x}$ na $(0, +\infty)$ (uwaga: na $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ nie jest malejąca!)
$f(x) = a^x$ na $\mathbb{R}$ dla $0 \lt a \lt 1$
$f(x) = -\ln x$ na $(0, +\infty)$

Przykłady funkcji niemalejących (ale nie ściśle rosnących)

$f(x) = \lfloor x \rfloor$ (część całkowita) — niemalejąca, ale stała na każdym przedziale $[n, n+1)$.
$f(x) = c$ (funkcja stała) — jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca.
$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \lt 0, \\ 1 & \text{dla } x \geq 0 \end{cases}$ (funkcja Heaviside'a) — niemalejąca.

Przykłady funkcji niemonotonicznych

$f(x) = x^2$ na $\mathbb{R}$ — malejąca na $(-\infty, 0]$, rosnąca na $[0, +\infty)$, ale nie monotoniczna na całym $\mathbb{R}$.
$f(x) = \sin x$ na $\mathbb{R}$ — nie jest monotoniczna (oscyluje).
$f(x) = |x|$ na $\mathbb{R}$ — nie jest monotoniczna.

Własności funkcji monotonicznych

1. Ścisła monotoniczność $\Rightarrow$ różnowartościowość

Jeśli $f$ jest ściśle rosnąca lub ściśle malejąca, to $f$ jest różnowartościowa (iniekcja).

2. Złożenie funkcji monotonicznych

$f$	$g$	$g \circ f$
rosnąca	rosnąca	rosnąca
rosnąca	malejąca	malejąca
malejąca	rosnąca	malejąca
malejąca	malejąca	rosnąca

Reguła znaków: „$+\cdot+ = +$", „$+\cdot- = -$", „$-\cdot+ = -$", „$-\cdot- = +$".

3. Suma i iloczyn przez stałą

Jeśli $f, g$ są niemalejące, to $f + g$ jest niemalejąca.
Jeśli $f$ jest niemalejąca i $c \gt 0$, to $cf$ jest niemalejąca.
Jeśli $f$ jest niemalejąca i $c \lt 0$, to $cf$ jest nierosnąca.

4. Funkcja odwrotna

Jeśli $f$ jest ściśle monotoniczna, to $f^{-1}$ (na zbiorze wartości $f$) jest ściśle monotoniczna w tym samym sensie (rosnąca $\to$ rosnąca, malejąca $\to$ malejąca).

5. Negacja

$f$ jest niemalejąca $\iff$ $-f$ jest nierosnąca.

Dowód własności 1

Niech $f$ będzie ściśle rosnąca i niech $x_1 \neq x_2$. Bez straty ogólności $x_1 \lt x_2$. Wtedy $f(x_1) \lt f(x_2)$, więc $f(x_1) \neq f(x_2)$. $\square$

Dowód własności 2 (złożenie rosnąca $\circ$ rosnąca)

Niech $f, g$ będą ściśle rosnące i niech $x_1 \lt x_2$. Z monotoniczności $f$: $f(x_1) \lt f(x_2)$. Z monotoniczności $g$: $g(f(x_1)) \lt g(f(x_2))$. Zatem $g \circ f$ jest ściśle rosnąca. $\square$

Dowód własności 2 (złożenie rosnąca $\circ$ malejąca)

Niech $f$ będzie ściśle rosnąca, $g$ ściśle malejąca i niech $x_1 \lt x_2$. Z monotoniczności $f$: $f(x_1) \lt f(x_2)$. Z monotoniczności $g$: $g(f(x_1)) \gt g(f(x_2))$. Zatem $g \circ f$ jest ściśle malejąca. $\square$

Monotoniczność na przedziale vs. na zbiorze

Monotoniczność zależy od dziedziny. Funkcja może być monotoniczna na podzbiorze, ale nie na całej dziedzinie.

Przykład: $f(x) = \frac{1}{x}$

Na $(0, +\infty)$: ściśle malejąca. $\checkmark$
Na $(-\infty, 0)$: ściśle malejąca. $\checkmark$
Na $\mathbb{R} \setminus \{0\}$: nie jest monotoniczna! Bo np. $-1 \lt 1$, ale $f(-1) = -1 \lt 1 = f(1)$.

Przykład: $f(x) = x^2$

Na $[0, +\infty)$: ściśle rosnąca.
Na $(-\infty, 0]$: ściśle malejąca.
Na $\mathbb{R}$: nie jest monotoniczna.

Przykład dowodu: $f(x) = x^2$ jest ściśle rosnąca na $[0, +\infty)$

Niech $0 \leq x_1 \lt x_2$. Wtedy: \[ f(x_2) - f(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1). \] Ponieważ $x_2 - x_1 \gt 0$ i $x_2 + x_1 \gt 0$ (bo $x_1 \geq 0$, $x_2 \gt 0$), mamy $f(x_2) - f(x_1) \gt 0$, czyli $f(x_2) \gt f(x_1)$. $\square$

Przykład dowodu: $f(x) = \frac{1}{x}$ jest ściśle malejąca na $(0, +\infty)$

Niech $0 \lt x_1 \lt x_2$. Wtedy: \[ f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}. \] Ponieważ $x_2 - x_1 \gt 0$ i $x_1 x_2 \gt 0$, mamy $f(x_1) - f(x_2) \gt 0$, czyli $f(x_1) \gt f(x_2)$. $\square$

Przykład dowodu: $f(x) = \sqrt{x}$ jest ściśle rosnąca na $[0, +\infty)$

Niech $0 \leq x_1 \lt x_2$. Wtedy: \[ \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}. \] Licznik $x_2 - x_1 \gt 0$, mianownik $\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} \gt 0$ (bo $x_2 \gt 0$), więc $\sqrt{x_2} \gt \sqrt{x_1}$. $\square$

Monotoniczność a ograniczoność na przedziale domkniętym

Jeśli $f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ jest niemalejąca, to: \[ f(a) \leq f(x) \leq f(b) \quad \text{dla każdego } x \in [a, b]. \] W szczególności $f$ jest ograniczona i $\inf f([a,b]) = f(a)$, $\sup f([a,b]) = f(b)$.

Analogicznie dla funkcji nierosnącej: $f(b) \leq f(x) \leq f(a)$.

Podsumowanie

4 rodzaje monotoniczności: niemalejąca, ściśle rosnąca, nierosnąca, ściśle malejąca.
Ścisła monotoniczność $\Rightarrow$ różnowartościowość (ale nie odwrotnie).
Złożenie: reguła znaków — „rosnąca $\circ$ rosnąca = rosnąca" itd.
Monotoniczność zależy od dziedziny — $\frac{1}{x}$ malejąca na $(0,+\infty)$, ale nie na $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Technika dowodzenia: wziąć $x_1 \lt x_2$ i pokazać odpowiednią nierówność dla $f(x_1)$ i $f(x_2)$, często przez analizę znaku różnicy $f(x_2) - f(x_1)$.

T19. Funkcje monotoniczne