Zbiór $D \subseteq \mathbb{R}$ nazywamy symetrycznym względem zera, jeśli: \[ \forall\, x \in D\colon\; -x \in D. \]
Przykłady zbiorów symetrycznych: $\mathbb{R}$, $(-a, a)$, $[-a, a]$, $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, $\mathbb{Z}$. Zbiory niesymetryczne: $[0, +\infty)$, $(1, 3)$, $\mathbb{N}$.
Pojęcia parzystości i nieparzystości funkcji mają sens tylko dla funkcji o dziedzinie symetrycznej.
Funkcję $f\colon D \to \mathbb{R}$ (gdzie $D$ jest symetryczne względem zera) nazywamy parzystą, jeśli: \[ \forall\, x \in D\colon\; f(-x) = f(x). \]
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY$. Jeśli punkt $(x, y)$ leży na wykresie, to punkt $(-x, y)$ też leży na wykresie.
Funkcję $f\colon D \to \mathbb{R}$ (gdzie $D$ jest symetryczne względem zera) nazywamy nieparzystą, jeśli: \[ \forall\, x \in D\colon\; f(-x) = -f(x). \]
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych $(0, 0)$. Jeśli punkt $(x, y)$ leży na wykresie, to punkt $(-x, -y)$ też leży na wykresie.
Jeśli $f$ jest nieparzysta i $0 \in D$, to z definicji: $f(-0) = -f(0)$, czyli $f(0) = -f(0)$, co daje $2f(0) = 0$, a więc: \[ f(0) = 0. \]
Jeśli $f(0) \neq 0$, to $f$ na pewno nie jest nieparzysta.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$.
Dowód: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$.
Dowód: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \cos x$.
Dowód: $f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$ (z wzorów redukcyjnych). $\checkmark$
Dowód: $f(-x) = (-x)^{2n} = ((-1)^{2n})(x^{2n}) = x^{2n} = f(x)$. $\checkmark$
Ogólnie: każdy wielomian zawierający wyłącznie potęgi parzyste (łącznie z wyrazem wolnym) jest funkcją parzystą.
Dowód: $f(-x) = \frac{1}{1 + (-x)^2} = \frac{1}{1 + x^2} = f(x)$. $\checkmark$
Dowód: $f(-x) = c = f(x)$. $\checkmark$
Funkcja stała $f(x) = 0$ jest jedyną funkcją, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$.
Dowód: $f(-x) = -x = -f(x)$. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$.
Dowód: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin x$.
Dowód: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$ (z wzorów redukcyjnych). $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \tan x$.
Dowód: $f(-x) = \tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x = -f(x)$. $\checkmark$
Dowód: $f(-x) = (-x)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} x^{2n+1} = -x^{2n+1} = -f(x)$. $\checkmark$
Ogólnie: każdy wielomian zawierający wyłącznie potęgi nieparzyste (bez wyrazu wolnego) jest funkcją nieparzystą.
$f\colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x}$.
Dowód: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. $\checkmark$
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$.
$f(-x) = -x + 1$. Porównujemy:
Zatem $f$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
$f(-x) = e^{-x} = \frac{1}{e^x}$. To nie jest równe ani $e^x$, ani $-e^x$ (dla $x \neq 0$). $\times$
$f(-x) = x^2 - x$. Porównujemy:
Zatem $f$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Niech $f\colon D \to \mathbb{R}$, gdzie $D$ jest symetryczne względem zera. Wtedy $f$ można jednoznacznie przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej: \[ f(x) = f_p(x) + f_n(x), \] gdzie: \[ f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{(część parzysta)}, \qquad f_n(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \quad \text{(część nieparzysta)}. \]
$f_p(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = f_p(x)$. $\checkmark$
$f_n(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_n(x)$. $\checkmark$
$f_p(x) + f_n(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$. $\checkmark$
Załóżmy, że $f = g + h$, gdzie $g$ jest parzysta i $h$ nieparzysta. Wtedy: \[ f(x) = g(x) + h(x), \qquad f(-x) = g(x) - h(x). \] Dodając: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = f_p(x)$. Odejmując: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = f_n(x)$. $\square$
\[ f_p(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x, \qquad f_n(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x. \]
Zatem $e^x = \cosh x + \sinh x$, gdzie $\cosh$ jest parzysta, a $\sinh$ jest nieparzysta.
Niech $f, g$ będą funkcjami o wspólnej dziedzinie symetrycznej $D$. Oznaczmy: P = parzysta, N = nieparzysta.
Niech $f, g$ będą nieparzyste. Wtedy: $(f \cdot g)(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = (f \cdot g)(x)$. $\square$
Niech $f$ będzie parzysta, $g$ nieparzysta. Wtedy: $(f \cdot g)(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f \cdot g)(x)$. $\square$
$(f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$. $\square$
Funkcja $f\colon D \to \mathbb{R}$ jest jednocześnie parzysta i nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy $f \equiv 0$.
($\Leftarrow$): Oczywiste — $f(x) = 0$ spełnia $f(-x) = 0 = f(x)$ i $f(-x) = 0 = -f(x)$.
($\Rightarrow$): Jeśli $f$ jest parzysta i nieparzysta, to $f(-x) = f(x)$ i $f(-x) = -f(x)$. Zatem $f(x) = -f(x)$, czyli $2f(x) = 0$, a więc $f(x) = 0$ dla każdego $x \in D$. $\square$
Niech $f$ będzie całkowalna na $[-a, a]$. Wtedy:
Intuicja: dla funkcji parzystej pola po obu stronach osi $OY$ są równe; dla nieparzystej — znoszą się nawzajem.
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\, dx = \int_{-a}^{0} f(x)\, dx + \int_{0}^{a} f(x)\, dx. \]
W pierwszej całce podstawiamy $t = -x$ (wtedy $dx = -dt$, granice: $x = -a \to t = a$, $x = 0 \to t = 0$): \[ \int_{-a}^{0} f(x)\, dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\, dt = \int_{0}^{a} (-f(t))\, dt = -\int_{0}^{a} f(t)\, dt. \]
Zatem: \[ \int_{-a}^{a} f(x)\, dx = -\int_{0}^{a} f(t)\, dt + \int_{0}^{a} f(x)\, dx = 0. \quad \square \]