Niech $f\colon D \to \mathbb{R}$, gdzie $D \subseteq \mathbb{R}$. Mówimy, że $f$ jest ograniczona z góry na zbiorze $D$, jeśli: \[ \exists\, M \in \mathbb{R}\;\;\forall\, x \in D\colon\; f(x) \leq M. \] Liczbę $M$ nazywamy ograniczeniem górnym funkcji $f$.
Mówimy, że $f$ jest ograniczona z dołu na zbiorze $D$, jeśli: \[ \exists\, m \in \mathbb{R}\;\;\forall\, x \in D\colon\; f(x) \geq m. \] Liczbę $m$ nazywamy ograniczeniem dolnym funkcji $f$.
Mówimy, że $f$ jest ograniczona na zbiorze $D$, jeśli jest ograniczona z góry i z dołu, tzn.: \[ \exists\, M \gt 0\;\;\forall\, x \in D\colon\; |f(x)| \leq M. \]
Równoważnie: $f$ jest ograniczona $\iff$ zbiór wartości $f(D) = \{f(x) : x \in D\}$ jest zbiorem ograniczonym w $\mathbb{R}$.
Funkcja $f\colon D \to \mathbb{R}$ jest nieograniczona z góry, jeśli: \[ \forall\, M \in \mathbb{R}\;\;\exists\, x \in D\colon\; f(x) \gt M. \]
Funkcja $f$ jest nieograniczona z dołu, jeśli: \[ \forall\, m \in \mathbb{R}\;\;\exists\, x \in D\colon\; f(x) \lt m. \]
Funkcja $f$ jest nieograniczona, jeśli jest nieograniczona z góry lub z dołu (lub z obu stron), tzn.: \[ \forall\, M \gt 0\;\;\exists\, x \in D\colon\; |f(x)| \gt M. \]
Negacja ograniczoności: $f$ nie jest ograniczona $\iff$ $\forall\, M \gt 0\;\exists\, x \in D\colon |f(x)| \gt M$. Wystarczy, że $f$ jest nieograniczona z jednej strony, aby była nieograniczona.
Niech $f\colon D \to \mathbb{R}$. Wtedy:
Jeśli $f$ jest ograniczona, to $\|f\|_\infty = \sup_{x \in D} |f(x)|$ nazywamy normą supremum funkcji $f$.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin x$.
Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi $|\sin x| \leq 1$, więc $f$ jest ograniczona. Ponadto $\sup f = 1$, $\inf f = -1$.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.
Ponieważ $1 + x^2 \geq 1$, mamy $0 \lt f(x) \leq 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Zatem $f$ jest ograniczona: $\sup f = 1$ (osiągane dla $x = 0$), $\inf f = 0$ (nieosiągane).
$f\colon [0, 3] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$.
Na przedziale domkniętym $[0, 3]$: $0 \leq f(x) \leq 9$, więc $f$ jest ograniczona. $\inf f = \min f = 0$, $\sup f = \max f = 9$.
$f(x) = c$ dla pewnego $c \in \mathbb{R}$. Oczywiście $|f(x)| = |c|$ dla każdego $x$, więc $f$ jest ograniczona.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$.
Funkcja jest ograniczona z dołu ($f(x) \geq 0$), ale nieograniczona z góry: dla dowolnego $M \gt 0$ wystarczy wziąć $x = \sqrt{M} + 1$, wtedy $f(x) = (\sqrt{M}+1)^2 \gt M$.
$f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x}$.
Funkcja jest ograniczona z dołu ($f(x) \gt 1$ dla $x \in (0,1)$), ale nieograniczona z góry: dla dowolnego $M \gt 0$ bierzemy $x = \frac{1}{M+1} \in (0,1)$ i mamy $f(x) = M + 1 \gt M$.
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$.
Funkcja jest nieograniczona z góry i z dołu jednocześnie.
$f\colon \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \tan x$.
Funkcja jest nieograniczona z góry ($\tan x \to +\infty$ gdy $x \to \frac{\pi}{2}^-$) i nieograniczona z dołu ($\tan x \to -\infty$ gdy $x \to -\frac{\pi}{2}^+$).
Funkcja $f(x) = \frac{1}{x}$ jest nieograniczona z góry na przedziale $(0, 1)$.
Musimy pokazać: $\forall\, M \gt 0\;\;\exists\, x \in (0,1)\colon\; f(x) \gt M$.
Niech $M \gt 0$ będzie dowolne. Wybieramy $x_0 = \frac{1}{M + 1}$.
Sprawdzamy, że $x_0 \in (0,1)$: ponieważ $M \gt 0$, mamy $M + 1 \gt 1$, więc $0 \lt \frac{1}{M+1} \lt 1$. $\checkmark$
Obliczamy: \[ f(x_0) = \frac{1}{x_0} = \frac{1}{\frac{1}{M+1}} = M + 1 \gt M. \quad \checkmark \]
Zatem $f$ jest nieograniczona z góry na $(0,1)$. $\square$
Funkcja $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ jest ograniczona na $\mathbb{R}$ i $|f(x)| \leq \frac{1}{2}$.
Dla $x = 0$: $f(0) = 0$, więc $|f(0)| = 0 \leq \frac{1}{2}$. $\checkmark$
Dla $x \neq 0$: korzystamy z nierówności AM-GM. Ponieważ $|x| \gt 0$, mamy: \[ 1 + x^2 \geq 2|x| \qquad \text{(bo } (|x| - 1)^2 \geq 0 \text{, czyli } x^2 + 1 \geq 2|x|\text{)}. \]
Zatem: \[ |f(x)| = \frac{|x|}{1 + x^2} \leq \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}. \]
Równość zachodzi dla $|x| = 1$, tzn. $f(1) = \frac{1}{2}$ i $f(-1) = -\frac{1}{2}$.
Zatem $f$ jest ograniczona i $\sup f = \frac{1}{2}$, $\inf f = -\frac{1}{2}$. $\square$
Niech $f, g\colon D \to \mathbb{R}$ będą ograniczone na $D$. Wtedy:
Skoro $f$ i $g$ są ograniczone, istnieją $M_1, M_2 \gt 0$ takie, że $|f(x)| \leq M_1$ i $|g(x)| \leq M_2$ dla każdego $x \in D$.
Wtedy: \[ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_1 + M_2 \] dla każdego $x \in D$, więc $f + g$ jest ograniczona (z ograniczeniem $M = M_1 + M_2$). $\square$
Iloraz $\frac{f}{g}$ nie musi być ograniczony, nawet jeśli $f$ i $g$ są ograniczone (i $g(x) \neq 0$).
Kontrprzykład: $f(x) = 1$ i $g(x) = x$ na $(0, 1)$. Obie są ograniczone, ale $\frac{f}{g} = \frac{1}{x}$ jest nieograniczona.
Jeśli $f$ jest ograniczona na otoczeniu punktu $x_0$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$, to: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = 0. \]
Skoro $f$ jest ograniczona w otoczeniu $x_0$, istnieje $M \gt 0$ takie, że $|f(x)| \leq M$ dla $x$ z pewnego otoczenia $x_0$.
Niech $\varepsilon \gt 0$. Ponieważ $g(x) \to 0$, istnieje $\delta \gt 0$ takie, że $|g(x)| \lt \frac{\varepsilon}{M}$ dla $0 \lt |x - x_0| \lt \delta$.
Wtedy: \[ |f(x) \cdot g(x)| = |f(x)| \cdot |g(x)| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon. \]
Zatem $\lim_{x \to x_0} f(x) g(x) = 0$. $\square$
Jeśli $f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym $[a, b]$, to:
Kluczowe założenia: ciągłość $f$ oraz domkniętość i ograniczoność przedziału $[a,b]$. Bez któregokolwiek z nich twierdzenie może nie zachodzić.