T15. Obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję
Definicja: obraz zbioru
Niech $f\colon X \to Y$ będzie funkcją i niech $A \subseteq X$.
Obrazem zbioru $A$ przez funkcję $f$ nazywamy zbiór:
\[
f(A) = \{f(x) : x \in A\} = \{y \in Y : \exists\, x \in A \;\; f(x) = y\}.
\]
Innymi słowy: $f(A)$ to zbiór wszystkich wartości, jakie $f$ przyjmuje na elementach zbioru $A$.
Przypadki szczególne
- $f(X)$ — obraz całej dziedziny, czyli zbiór wartości funkcji $f$ (oznaczany też $\operatorname{Im} f$).
- $f(\{x_0\}) = \{f(x_0)\}$ — obraz jednoelementowy.
- $f(\emptyset) = \emptyset$.
Definicja: przeciwobraz zbioru
Niech $f\colon X \to Y$ będzie funkcją i niech $B \subseteq Y$.
Przeciwobrazem (obrazem wstecznym) zbioru $B$ przez funkcję $f$ nazywamy zbiór:
\[
f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}.
\]
Innymi słowy: $f^{-1}(B)$ to zbiór wszystkich argumentów z $X$, których wartości należą do $B$.
Ważna uwaga o notacji
Symbol $f^{-1}(B)$ oznacza przeciwobraz zbioru $B$ i nie wymaga, by $f$ była odwracalna!
Przeciwobraz jest zdefiniowany dla każdej funkcji $f\colon X \to Y$.
Jeśli $f$ jest bijekcją, to $f^{-1}$ oznacza zarówno funkcję odwrotną, jak i przeciwobraz —
oba znaczenia są wtedy zgodne: $f^{-1}(B) = \{f^{-1}(y) : y \in B\}$.
Przykłady: obraz zbioru
Przykład 1
$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$.
- $f(\{-2, 1, 3\}) = \{4, 1, 9\}$
- $f([-2, 3]) = [0, 9]$
- $f(\mathbb{R}) = [0, +\infty)$
- $f((-1, 1)) = [0, 1)$
- $f(\{-3, 3\}) = \{9\}$ (dwa argumenty dają tę samą wartość)
Przykład 2
$g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 2x + 1$.
- $g(\{0, 1, 2\}) = \{1, 3, 5\}$
- $g([0, 3]) = [1, 7]$
- $g(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$
Przykład 3
$h\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = \sin x$.
- $h([0, \pi]) = [0, 1]$
- $h(\mathbb{R}) = [-1, 1]$
- $h\!\left(\left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi\right\}\right) = \{0, 1\}$
Przykłady: przeciwobraz zbioru
Przykład 1
$f(x) = x^2$, $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- $f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\}$
- $f^{-1}(\{0\}) = \{0\}$
- $f^{-1}([0, 9]) = [-3, 3]$
- $f^{-1}((1, 4)) = (-2, -1) \cup (1, 2)$
- $f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset$ (bo $x^2 \geq 0$ dla każdego $x$)
- $f^{-1}((-\infty, 0)) = \emptyset$
Przykład 2
$g(x) = 2x + 1$, $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- $g^{-1}(\{5\}) = \{2\}$ (bo $2x + 1 = 5 \iff x = 2$)
- $g^{-1}([1, 7]) = [0, 3]$
- $g^{-1}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$
Przykład 3
$h(x) = \sin x$, $h\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- $h^{-1}(\{0\}) = \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$
- $h^{-1}(\{1\}) = \left\{\frac{\pi}{2} + 2k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\}$
- $h^{-1}([-1, 1]) = \mathbb{R}$
- $h^{-1}(\{2\}) = \emptyset$ (bo $|\sin x| \leq 1$)
Przykład 4
$\varphi\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\varphi(x) = |x|$.
- $\varphi^{-1}(\{3\}) = \{-3, 3\}$
- $\varphi^{-1}([0, 2]) = [-2, 2]$
- $\varphi^{-1}((-1, 0)) = \emptyset$ (bo $|x| \geq 0$)
Własności obrazu
Niech $f\colon X \to Y$ i niech $A, A_1, A_2 \subseteq X$. Wtedy:
- $A_1 \subseteq A_2 \;\Rightarrow\; f(A_1) \subseteq f(A_2)$ (monotoniczność)
- $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$
- $f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ (w ogólności nie ma równości!)
- $f(A_1 \setminus A_2) \supseteq f(A_1) \setminus f(A_2)$ (w ogólności nie ma równości!)
Dowody wybranych własności obrazu
Własność 2: $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$
„$\subseteq$": Niech $y \in f(A_1 \cup A_2)$. Wtedy $y = f(x)$ dla pewnego $x \in A_1 \cup A_2$.
Jeśli $x \in A_1$, to $y \in f(A_1)$. Jeśli $x \in A_2$, to $y \in f(A_2)$.
W obu przypadkach $y \in f(A_1) \cup f(A_2)$.
„$\supseteq$": Niech $y \in f(A_1) \cup f(A_2)$. Wtedy $y \in f(A_1)$ lub $y \in f(A_2)$.
W obu przypadkach istnieje $x \in A_1 \cup A_2$ z $f(x) = y$, więc $y \in f(A_1 \cup A_2)$. $\square$
Własność 3: $f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ (i kontrprzykład na równość)
„$\subseteq$": Niech $y \in f(A_1 \cap A_2)$. Wtedy $y = f(x)$ dla pewnego $x \in A_1 \cap A_2$.
Ponieważ $x \in A_1$, mamy $y \in f(A_1)$. Ponieważ $x \in A_2$, mamy $y \in f(A_2)$.
Zatem $y \in f(A_1) \cap f(A_2)$. $\square$
Kontrprzykład na równość: Niech $f(x) = x^2$, $A_1 = \{-1\}$, $A_2 = \{1\}$. Wtedy:
- $f(A_1 \cap A_2) = f(\emptyset) = \emptyset$,
- $f(A_1) \cap f(A_2) = \{1\} \cap \{1\} = \{1\} \neq \emptyset$.
Własności przeciwobrazu
Niech $f\colon X \to Y$ i niech $B, B_1, B_2 \subseteq Y$. Wtedy:
- $B_1 \subseteq B_2 \;\Rightarrow\; f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2)$ (monotoniczność)
- $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$
- $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$ (równość!)
- $f^{-1}(B_1 \setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$ (równość!)
- $f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$
Przeciwobraz „zachowuje się lepiej" niż obraz — zachowuje wszystkie operacje teoriomnogościowe
(sumę, przekrój, różnicę, dopełnienie).
Dowody wybranych własności przeciwobrazu
Własność 3: $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$
$x \in f^{-1}(B_1 \cap B_2)$
$\iff f(x) \in B_1 \cap B_2$
$\iff f(x) \in B_1 \;\text{i}\; f(x) \in B_2$
$\iff x \in f^{-1}(B_1) \;\text{i}\; x \in f^{-1}(B_2)$
$\iff x \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$. $\square$
Własność 5: $f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$
$x \in f^{-1}(Y \setminus B)$
$\iff f(x) \in Y \setminus B$
$\iff f(x) \notin B$
$\iff x \notin f^{-1}(B)$
$\iff x \in X \setminus f^{-1}(B)$. $\square$
Związki między obrazem a przeciwobrazem
Niech $f\colon X \to Y$, $A \subseteq X$, $B \subseteq Y$. Wtedy:
- $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ (w ogólności nie ma równości)
- $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$ (w ogólności nie ma równości)
- Jeśli $f$ jest różnowartościowa, to $A = f^{-1}(f(A))$.
- Jeśli $f$ jest „na" (surjekcja), to $f(f^{-1}(B)) = B$.
Kontrprzykłady do równości
$A \subsetneq f^{-1}(f(A))$
$f(x) = x^2$, $A = \{2\}$. Wtedy $f(A) = \{4\}$ i $f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\} \supsetneq \{2\}$.
$f(f^{-1}(B)) \subsetneq B$
$f(x) = x^2$ ($f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$), $B = \{-1, 4\}$.
Wtedy $f^{-1}(B) = \{-2, 2\}$ (bo $x^2 = -1$ nie ma rozwiązań)
i $f(f^{-1}(B)) = f(\{-2, 2\}) = \{4\} \subsetneq \{-1, 4\}$.
Podsumowanie
- Obraz: $f(A) = \{f(x) : x \in A\}$ — wartości $f$ na zbiorze $A$.
- Przeciwobraz: $f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}$ — argumenty, których wartości należą do $B$.
- Obraz zachowuje sumy ($\cup$), ale nie zachowuje przekrojów ($\cap$) ani różnic ($\setminus$) — jedynie inkluzje.
- Przeciwobraz zachowuje wszystkie operacje: $\cup$, $\cap$, $\setminus$, dopełnienie.
- $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ (równość gdy $f$ jest różnowartościowa).
- $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$ (równość gdy $f$ jest surjekcją).