T12. Wartość bezwzględna
Definicja
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę: \[ |x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0, \\ -x & \text{gdy } x \lt 0. \end{cases} \]
Równoważnie: \[ |x| = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}. \]
Interpretacja geometryczna
$|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi liczbowej.
Ogólniej: $|x - y|$ to odległość między liczbami $x$ i $y$ na osi liczbowej.
Wykres funkcji $y = |x|$
- Wykres składa się z dwóch półprostych wychodzących z początku układu.
- Dla $x \geq 0$: prosta $y = x$ (nachylenie $+1$).
- Dla $x \lt 0$: prosta $y = -x$ (nachylenie $-1$).
- Wykres jest symetryczny względem osi $Oy$ (funkcja parzysta).
- Minimum globalne: $|0| = 0$.
Przykłady
- $|5| = 5$
- $|-3| = -(-3) = 3$
- $|0| = 0$
- $|\pi - 4| = 4 - \pi$ (bo $\pi - 4 \lt 0$)
- $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ (bo $2 \gt \sqrt{3}$)
- $|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$ (bo $\sqrt{2} \lt 2$)
Własności podstawowe
Dla dowolnych $x, y \in \mathbb{R}$:
- $|x| \geq 0$ (nieujemność)
- $|x| = 0 \iff x = 0$ (niezdegenerowanie)
- $|-x| = |x|$ (parzystość)
- $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ (multiplikatywność)
- $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ (dla $y \neq 0$)
- $-|x| \leq x \leq |x|$
- $|x|^2 = x^2$
- $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (dla $a \geq 0$)
- $|x| \geq a \iff x \leq -a \;\text{ lub }\; x \geq a$ (dla $a \geq 0$)
Nierówność trójkąta
Dla dowolnych $x, y \in \mathbb{R}$: \[ |x + y| \leq |x| + |y|. \]
Dowód nierówności trójkąta
Metoda 1: z własności 6
Z własności 6 mamy: $-|x| \leq x \leq |x|$ oraz $-|y| \leq y \leq |y|$. Dodając stronami: \[ -(|x| + |y|) \leq x + y \leq |x| + |y|. \] Z własności 8 (z $a = |x| + |y|$): \[ |x + y| \leq |x| + |y|. \quad \square \]
Metoda 2: przez podniesienie do kwadratu
Obie strony są nieujemne, więc nierówność jest równoważna: \[ |x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2. \] Lewa strona: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Prawa strona: $(|x| + |y|)^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2 = x^2 + 2|xy| + y^2$.
Ponieważ $xy \leq |xy|$, mamy $x^2 + 2xy + y^2 \leq x^2 + 2|xy| + y^2$. $\square$
Wnioski z nierówności trójkąta
Nierówność trójkąta dla różnicy
\[ |x - y| \leq |x| + |y|. \]
Dowód: zastosować nierówność trójkąta do $x + (-y)$ i skorzystać z $|-y| = |y|$.
Odwrotna nierówność trójkąta
\[ \big||x| - |y|\big| \leq |x - y|. \]
Dowód
Z nierówności trójkąta: $|x| = |(x - y) + y| \leq |x - y| + |y|$, więc $|x| - |y| \leq |x - y|$.
Analogicznie: $|y| - |x| \leq |y - x| = |x - y|$.
Zatem $-(|x - y|) \leq |x| - |y| \leq |x - y|$, czyli $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$. $\square$
Uogólnienie na $n$ składników
\[ |x_1 + x_2 + \cdots + x_n| \leq |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|. \]
Dowód przez indukcję matematyczną.
Wartość bezwzględna jako odległość (metryka)
Funkcja $d(x, y) = |x - y|$ jest metryką na $\mathbb{R}$, tzn. spełnia:
- $d(x, y) \geq 0$ i $d(x, y) = 0 \iff x = y$ (nieujemność i niezdegenerowanie)
- $d(x, y) = d(y, x)$ (symetria)
- $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ (nierówność trójkąta)
Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną
Równanie $|x - a| = r$ (gdzie $r \geq 0$)
Rozwiązanie: $x = a - r$ lub $x = a + r$.
Geometrycznie: punkty w odległości $r$ od $a$.
Nierówność $|x - a| \lt r$ (gdzie $r \gt 0$)
Rozwiązanie: $a - r \lt x \lt a + r$, czyli $x \in (a - r, a + r)$.
Geometrycznie: wnętrze kuli (przedziału) o środku $a$ i promieniu $r$.
Nierówność $|x - a| \gt r$ (gdzie $r \gt 0$)
Rozwiązanie: $x \lt a - r$ lub $x \gt a + r$, czyli $x \in (-\infty, a-r) \cup (a+r, +\infty)$.
Przykłady
Przykład 1: $|2x - 3| = 5$
$2x - 3 = 5$ lub $2x - 3 = -5$, więc $x = 4$ lub $x = -1$.
Przykład 2: $|x + 1| \lt 3$
$-3 \lt x + 1 \lt 3$, więc $-4 \lt x \lt 2$, czyli $x \in (-4, 2)$.
Przykład 3: $|x - 2| \geq 1$
$x - 2 \leq -1$ lub $x - 2 \geq 1$, więc $x \leq 1$ lub $x \geq 3$, czyli $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.
Przykład 4: Dowód, że $|x| \lt \varepsilon$ dla każdego $\varepsilon \gt 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$
Gdyby $x \neq 0$, to $|x| \gt 0$. Biorąc $\varepsilon = |x|$, mielibyśmy $|x| \lt |x|$ — sprzeczność. Zatem $x = 0$. $\square$
Podsumowanie
- Definicja: $|x| = x$ dla $x \geq 0$, $|x| = -x$ dla $x \lt 0$.
- Wykres: Dwie półproste tworzące literę „V" z wierzchołkiem w $(0, 0)$.
- Interpretacja: $|x|$ = odległość $x$ od zera; $|x - y|$ = odległość między $x$ a $y$.
- Kluczowe własności: $|xy| = |x||y|$, $-|x| \leq x \leq |x|$.
- Nierówność trójkąta: $|x + y| \leq |x| + |y|$.
- Odwrotna nierówność trójkąta: $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$.
- Nierówności: $|x - a| \lt r \iff x \in (a-r, a+r)$.