Część całkowita liczby rzeczywistej

Definicja

Częścią całkowitą (podłogą, ang. floor) liczby rzeczywistej $x$ nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od $x$. Oznaczamy ją $\lfloor x \rfloor$ lub $[x]$: \[ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}. \]

Równoważnie: $\lfloor x \rfloor$ jest jedyną liczbą całkowitą spełniającą: \[ \lfloor x \rfloor \leq x \lt \lfloor x \rfloor + 1. \]

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności

Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $n$ taka, że $n \leq x \lt n + 1$.

Dowód istnienia

Rozważmy zbiór: \[ S = \{k \in \mathbb{Z} : k \leq x\}. \]

$S$ jest niepusty: Z własności archimedesowskiej (temat 9) istnieje $m \in \mathbb{N}$ takie, że $m \gt -x$, czyli $-m \lt x$. Zatem $-m \in S$.

$S$ jest ograniczony z góry: Z własności archimedesowskiej istnieje $M \in \mathbb{N}$ takie, że $M \gt x$. Zatem $k \leq x \lt M$ dla każdego $k \in S$, więc $S$ jest ograniczony z góry przez $M$.

Zbiór $S$ jest niepustym podzbiorem $\mathbb{Z}$ ograniczonym z góry, więc ma element największy. Niech $n = \max S$. Wtedy:

$n \leq x$ (bo $n \in S$),
$n + 1 \gt x$ (bo $n + 1 \notin S$, gdyż $n$ jest największym elementem $S$).

Zatem $n \leq x \lt n + 1$. $\checkmark$

Dowód jednoznaczności

Załóżmy, że $n_1 \leq x \lt n_1 + 1$ i $n_2 \leq x \lt n_2 + 1$ dla $n_1, n_2 \in \mathbb{Z}$.

Z $n_1 \leq x \lt n_2 + 1$ wynika $n_1 \lt n_2 + 1$, czyli $n_1 \leq n_2$ (bo $n_1, n_2 \in \mathbb{Z}$).

Analogicznie $n_2 \leq n_1$. Zatem $n_1 = n_2$. $\square$

Wykres funkcji $y = \lfloor x \rfloor$

Wykres składa się z poziomych odcinków: na każdym przedziale $[n, n+1)$ (dla $n \in \mathbb{Z}$) funkcja przyjmuje stałą wartość $n$.

Punkt zamknięty (wypełnione kółko) — lewy koniec odcinka: $\lfloor n \rfloor = n$.
Punkt otwarty (puste kółko) — prawy koniec: wartość „przeskakuje" do $n+1$ w punkcie $x = n+1$.

Funkcja $\lfloor x \rfloor$ jest ciągła z prawej strony w każdym punkcie całkowitym i ma nieciągłość skokową (skok o $1$) z lewej strony.

Przykłady

$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$ (bo $3 \leq 3{,}7 \lt 4$)
$\lfloor 5 \rfloor = 5$ (bo $5 \leq 5 \lt 6$)
$\lfloor 0{,}99 \rfloor = 0$ (bo $0 \leq 0{,}99 \lt 1$)
$\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$ (bo $-2 \leq -1{,}3 \lt -1$)
$\lfloor -4 \rfloor = -4$ (bo $-4 \leq -4 \lt -3$)
$\lfloor \pi \rfloor = 3$ (bo $3 \leq 3{,}14\ldots \lt 4$)
$\lfloor -\pi \rfloor = -4$ (bo $-4 \leq -3{,}14\ldots \lt -3$)
$\lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1$ (bo $1 \leq 1{,}41\ldots \lt 2$)

Uwaga: dla liczb ujemnych część całkowita „zaokrągla w dół", nie w stronę zera! Np. $\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$, a nie $-1$.

Własności części całkowitej

Niech $x, y \in \mathbb{R}$ i $n \in \mathbb{Z}$. Wtedy:

$\lfloor x \rfloor \leq x \lt \lfloor x \rfloor + 1$
$x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leq x$
$\lfloor x \rfloor = x \iff x \in \mathbb{Z}$
$\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ (przesunięcie o liczbę całkowitą)
$\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$
$\lfloor -x \rfloor = \begin{cases} -\lfloor x \rfloor & \text{gdy } x \in \mathbb{Z}, \\ -\lfloor x \rfloor - 1 & \text{gdy } x \notin \mathbb{Z}. \end{cases}$
$n \leq x \iff n \leq \lfloor x \rfloor$ (dla $n \in \mathbb{Z}$)
$x \lt n \iff \lfloor x \rfloor \lt n$ (dla $n \in \mathbb{Z}$)

Dowody wybranych własności

Własność 4: $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$

Niech $m = \lfloor x \rfloor$. Wtedy $m \leq x \lt m + 1$. Dodając $n$: \[ m + n \leq x + n \lt m + n + 1. \] Ponieważ $m + n \in \mathbb{Z}$, z jednoznaczności: $\lfloor x + n \rfloor = m + n = \lfloor x \rfloor + n$. $\square$

Własność 5: $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor$

Z definicji: $\lfloor x \rfloor \leq x$ i $\lfloor y \rfloor \leq y$. Dodając: \[ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq x + y. \] Ponieważ $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \in \mathbb{Z}$ i $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq x + y$, z własności 7: $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor$. $\square$

Nierówność $\lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ wynika z: $x \lt \lfloor x \rfloor + 1$ i $y \lt \lfloor y \rfloor + 1$, więc $x + y \lt \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, a zatem $\lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$. $\square$

Część ułamkowa

Częścią ułamkową liczby $x \in \mathbb{R}$ nazywamy: \[ \{x\} = x - \lfloor x \rfloor. \]

Z definicji części całkowitej wynika, że: \[ 0 \leq \{x\} \lt 1 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}. \]

Ponadto $\{x\} = 0 \iff x \in \mathbb{Z}$.

Przykłady części ułamkowej

$\{3{,}7\} = 3{,}7 - 3 = 0{,}7$
$\{5\} = 5 - 5 = 0$
$\{-1{,}3\} = -1{,}3 - (-2) = 0{,}7$
$\{\pi\} = \pi - 3 \approx 0{,}14159\ldots$
$\{-\pi\} = -\pi - (-4) = 4 - \pi \approx 0{,}85840\ldots$

Funkcja sufit (ceiling)

Dla porównania, sufitem (ang. ceiling) liczby $x$ nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą od $x$: \[ \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\}. \]

Zachodzi związek: \[ \lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor. \]

Np. $\lceil 3{,}2 \rceil = 4$, $\lceil -1{,}3 \rceil = -1$, $\lceil 5 \rceil = 5$.

Podsumowanie

Definicja: $\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}$, jedyna $n \in \mathbb{Z}$ z $n \leq x \lt n+1$.
Istnienie: Wynika z własności archimedesowskiej i istnienia elementu największego w niepustym podzbiorze $\mathbb{Z}$ ograniczonym z góry.
Wykres: Funkcja schodkowa — na $[n, n+1)$ wartość $n$; ciągła z prawej, skok z lewej w punktach całkowitych.
Część ułamkowa: $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1)$.
Kluczowa własność: $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ dla $n \in \mathbb{Z}$.

T11. Część całkowita liczby rzeczywistej