Zasada Archimedesa w matematyce (aksjomat Archimedesa)

To nie jest zasada z fizyki o wyporze. W matematyce zasada Archimedesa (często: aksjomat Archimedesa) mówi, że wśród liczb rzeczywistych nie ma liczb „nieskończenie dużych” ani „nieskończenie małych” w sensie porządku.

Treść zasady (standardowa postać)

Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x>0\) i dowolnej liczby rzeczywistej \(y\) istnieje liczba naturalna \(n\in\mathbb{N}\) taka, że \[ n x > y. \]

Intuicja: dodając do siebie \(x\) wystarczająco wiele razy, przekroczysz dowolnie ustalony próg \(y\).

Równoważne sformułowania

Poniższe zdania są równoważne (w \(\mathbb{R}\) i w ogóle w ciałach uporządkowanych):

(A1) Dla dowolnego \(x>0\) i dowolnego \(y\) istnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \(nx>y\).
(A2) Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(t\) istnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \(n>t\). (Czyli zbiór \(\mathbb{N}\) nie jest ograniczony zod góry w zbiorze \(\mathbb{R}\).)
(A3) Dla każdego \(\varepsilon>0\) istnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \[ \frac{1}{n} < \varepsilon. \]
(A4) Dla każdego \(x>0\) istnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \[ 0 < \frac{1}{n} < x. \]

Dowody równoważności (krótkie)

\((A1)\Rightarrow(A2)\)

Podstaw \(x=1\) oraz \(y=t\). Z \((A1)\) dostajemy istnienie \(n\) takiego, że \[ n\cdot 1 > t \quad\Longrightarrow\quad n>t, \] czyli \((A2)\).

\((A2)\Rightarrow(A3)\)

Weź \(\varepsilon>0\). Z \((A2)\) dla liczby \(t=\frac{1}{\varepsilon}\) istnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \[ n > \frac{1}{\varepsilon}. \] Ponieważ \(n,\varepsilon>0\), po odwróceniu nierówności dostajemy \[ \frac{1}{n} < \varepsilon, \] czyli \((A3)\).

\((A3)\Rightarrow(A1)\)

Weź \(x>0\) i dowolne \(y\). Jeśli \(y\le 0\), to już dla \(n=1\) mamy \(nx=x>y\). Załóżmy więc \(y>0\).

Z \((A3)\) dla \(\varepsilon=\frac{x}{y}\) (to jest dodatnie) istnieje \(n\) takie, że \[ \frac{1}{n} < \frac{x}{y}. \] Mnożąc stronami przez dodatnie \(ny\), dostajemy \[ y < nx, \] czyli \(nx>y\). To jest \((A1)\).

Najważniejsze wnioski

Brak „największej” liczby naturalnej: dla każdego \(t\) znajdzie się \(n\in\mathbb{N}\) z \(n>t\).
Istnieją dowolnie małe dodatnie ułamki postaci \(\frac{1}{n}\): dla każdego \(\varepsilon>0\) znajdzie się \(n\) z \(\frac{1}{n}<\varepsilon\).
Podstawa dowodów granic: klasyczne argumenty typu „wybierz \(n\) tak duże, że...” są legalne właśnie dzięki zasadzie Archimedesa.
Brak liczb nieskończenie małych/dużych w \(\mathbb{R}\): nie istnieje dodatnia liczba \(\delta\) taka, że \(\delta < \frac{1}{n}\) dla każdego \(n\), ani liczba \(H\) taka, że \(H > n\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\).

Typowe zastosowanie: \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)

Pokażemy definicyjnie, że \(\frac{1}{n}\to 0\). Niech \(\varepsilon>0\). Z zasady Archimedesa (postać \((A3)\)) istnieje \(N\) takie, że \[ \frac{1}{N} < \varepsilon. \] Dla \(n\ge N\) mamy wtedy \[ 0<\frac{1}{n}\le \frac{1}{N} < \varepsilon, \] czyli \(\frac{1}{n}\to 0\).

Związek z twierdzeniem Stolza

Twierdzenie Stolza–Cesàro bardzo często prowadzi do granic, w których trzeba „wybrać \(n\) dostatecznie duże”, np. by \(\frac{1}{n}<\varepsilon\) albo by \(n>M\). Takie kroki są wspierane właśnie przez zasadę Archimedesa (postać \((A2)\) i \((A3)\)).

Ciekawostka

Istnieją struktury liczbowe nienarchimedesowe, w których zasada Archimedesa nie zachodzi (pojawiają się liczby „nieskończenie duże” i „nieskończenie małe”, np. w liczbach hiperrealnych). W standardowych liczbach rzeczywistych \(\mathbb{R}\) zasada Archimedesa jest spełniona.

T09. Zasada Archimedesa w matematyce (aksjomat Archimedesa)