Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ nie jest ograniczony z góry w $\mathbb{R}$, tzn.: \[ \forall\, M \in \mathbb{R} \;\; \exists\, n \in \mathbb{N}\colon \;\; n \gt M. \]
Innymi słowy: nie istnieje liczba rzeczywista, która byłaby większa od wszystkich liczb naturalnych.
Twierdzenie mówi, że „licząc $1, 2, 3, \ldots$" możemy przekroczyć dowolną, nawet bardzo dużą barierę $M$. Choć wydaje się to oczywiste, wymaga dowodu — jest to konsekwencja aksjomatu kresu górnego (zupełności $\mathbb{R}$).
Przypuśćmy, że $\mathbb{N}$ jest ograniczony z góry w $\mathbb{R}$, tzn. istnieje $M \in \mathbb{R}$ takie, że $n \leq M$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$.
Zbiór $\mathbb{N}$ jest niepusty ($1 \in \mathbb{N}$) i — z założenia — ograniczony z góry. Z aksjomatu kresu górnego (temat 6) istnieje kres górny: \[ s = \sup \mathbb{N} \in \mathbb{R}. \]
Ponieważ $s = \sup \mathbb{N}$, liczba $s - 1$ nie jest ograniczeniem górnym $\mathbb{N}$ (bo $s$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym). Zatem istnieje $n_0 \in \mathbb{N}$ takie, że: \[ n_0 \gt s - 1. \]
Z $n_0 \gt s - 1$ wynika $n_0 + 1 \gt s$. Ale $n_0 + 1 \in \mathbb{N}$ (bo $\mathbb{N}$ jest zamknięty na dodawanie jedynki), więc istnieje element $\mathbb{N}$ większy od $s = \sup\mathbb{N}$.
To jest sprzeczność z definicją kresu górnego ($s$ miał być ograniczeniem górnym $\mathbb{N}$, a $n_0 + 1 \in \mathbb{N}$ i $n_0 + 1 \gt s$).
Założenie, że $\mathbb{N}$ jest ograniczony z góry, prowadzi do sprzeczności. Zatem $\mathbb{N}$ nie jest ograniczony z góry w $\mathbb{R}$. $\square$
Następujące warunki są równoważne:
Dla każdych $a, b \in \mathbb{R}$ z $a \gt 0$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że: \[ na \gt b. \]
Z nieograniczoności $\mathbb{N}$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ z $n \gt \frac{b}{a}$ (bo $\frac{b}{a} \in \mathbb{R}$). Mnożąc przez $a \gt 0$: $na \gt b$. $\square$
Szczegółowe omówienie zasady Archimedesa — temat 9.
Dla każdego $\varepsilon \gt 0$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $\frac{1}{n} \lt \varepsilon$.
Z nieograniczoności $\mathbb{N}$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ z $n \gt \frac{1}{\varepsilon}$. Ponieważ $n \gt 0$, odwracając: $\frac{1}{n} \lt \varepsilon$. $\square$
Ten wniosek jest fundamentalny — używamy go w niemal każdym dowodzie $\varepsilon$-$N$ dotyczącym granic ciągów.
Zbiór $\mathbb{Z}$ nie jest ograniczony z dołu w $\mathbb{R}$: \[ \forall\, M \in \mathbb{R} \;\; \exists\, k \in \mathbb{Z}\colon \;\; k \lt M. \]
Z nieograniczoności $\mathbb{N}$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ z $n \gt -M$, czyli $-n \lt M$. Ponieważ $-n \in \mathbb{Z}$, mamy $k = -n$. $\square$
Niech $\varepsilon \gt 0$. Z nieograniczoności $\mathbb{N}$ istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że $N \gt \frac{1}{\varepsilon}$. Dla $n \gt N$: \[ \left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} \lt \frac{1}{N} \lt \varepsilon. \] Zatem $\frac{1}{n} \to 0$. $\checkmark$