W aksjomatyce liczb rzeczywistych pojawiają się dwa klasyczne sformułowania „zupełności" prostej rzeczywistej: aksjomat ciągłości Dedekinda (o przekrojach) i aksjomat kresu górnego (o supremum). Oba są równoważne w ciałach uporządkowanych — pokażemy to z pełnymi dowodami.
Przekrojem Dedekinda zbioru uporządkowanego $(X, \leq)$ nazywamy parę $(A, B)$ taką, że:
Dla każdego przekroju Dedekinda $(A, B)$ zbioru $\mathbb{R}$ istnieje $c \in \mathbb{R}$ takie, że: \[ \forall\, a \in A\;\forall\, b \in B\colon a \leq c \leq b. \]
Innymi słowy: nie ma „dziury" w prostej rzeczywistej — każdy podział $\mathbb{R}$ na dwie niepuste części, z lewą częścią nie większą od prawej, ma element rozdzielający.
Element $c$ nie musi być jedyny. Może należeć do $A$ lub do $B$ (lub do obu, jeśli $c = \max A = \min B$, ale to zachodzi tylko gdy $c$ jest jednocześnie w $A$ i $B$, co wymaga $A \cap B = \{c\}$).
Precyzyjniej: $c$ jest jedyny $\iff$ $A$ nie ma elementu największego lub $B$ nie ma elementu najmniejszego (nie mogą oba jednocześnie mieć, bo wtedy $\max A \leq \min B$ i mogą być różne).
Każdy niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ograniczony z góry ma kres górny (supremum) w $\mathbb{R}$: \[ \forall\, A \subseteq \mathbb{R}\colon \left(A \neq \emptyset \;\wedge\; \exists\, M\;\forall\, a \in A\colon a \leq M\right) \implies \exists\, \sup A \in \mathbb{R}. \]
Przypomnienie: $s = \sup A$ oznacza, że $s$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym $A$.
W ciałach uporządkowanych następujące warunki są równoważne:
Zakładamy aksjomat Dedekinda. Niech $A \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$, $A$ ograniczony z góry. Chcemy pokazać, że $\sup A$ istnieje.
Definiujemy:
Z aksjomatu Dedekinda istnieje $c \in \mathbb{R}$ takie, że $l \leq c \leq b$ dla każdego $l \in L$, $b \in B$.
$c$ jest ograniczeniem górnym $A$: Musimy pokazać $c \in B$. Załóżmy nie wprost, że $c \notin B$, tzn. $c \in L$. Wtedy istnieje $a_0 \in A$ takie, że $a_0 \gt c$. Ale $a_0$ nie jest ograniczeniem górnym $A$ (bo $a_0 \in A$ i mogą istnieć elementy $A$ większe od $a_0$... niekoniecznie). Rozumujemy inaczej:
Skoro $c \in L$, to istnieje $a_0 \in A$ z $a_0 \gt c$. Weźmy $l' = \frac{c + a_0}{2}$. Wtedy $l' \gt c$ i $l' \lt a_0$, więc $l'$ nie jest ograniczeniem górnym $A$ (bo $a_0 \gt l'$), czyli $l' \in L$. Ale $l' \gt c$, co przeczy temu, że $c$ jest ograniczeniem górnym $L$ (tj. $l \leq c$ dla $l \in L$). Sprzeczność. Zatem $c \in B$.
$c$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym: Dla każdego $b \in B$: $c \leq b$ (z aksjomatu Dedekinda). Zatem $c = \sup A$. $\square$
Zakładamy aksjomat kresu górnego. Niech $(A, B)$ będzie przekrojem Dedekinda $\mathbb{R}$. Chcemy znaleźć $c$ takie, że $a \leq c \leq b$ dla każdego $a \in A$, $b \in B$.
Każdy $b \in B$ jest ograniczeniem górnym $A$ (bo $a \leq b$ dla każdego $a \in A$, $b \in B$). Ponieważ $B \neq \emptyset$, zbiór $A$ jest ograniczony z góry.
$A \neq \emptyset$ i $A$ ograniczony z góry, więc z aksjomatu kresu górnego istnieje $c = \sup A \in \mathbb{R}$.
$a \leq c$ dla każdego $a \in A$: Z definicji supremum ($c$ jest ograniczeniem górnym $A$). $\checkmark$
$c \leq b$ dla każdego $b \in B$: Każdy $b \in B$ jest ograniczeniem górnym $A$, a $c = \sup A$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym, więc $c \leq b$. $\checkmark$
Zatem $c$ spełnia warunek aksjomatu Dedekinda. $\square$
| Cecha | Aksjomat Dedekinda | Aksjomat kresu górnego |
|---|---|---|
| Język | Przekroje (podziały) zbioru | Supremum (kres górny) |
| Intuicja geometryczna | Prosta nie ma „dziur" | Zbiory ograniczone mają „granicę" |
| Warunek wstępny | Podział $\mathbb{R}$ na dwie części | Niepusty zbiór ograniczony z góry |
| Wniosek | Istnieje element rozdzielający | Istnieje supremum |
| Zastosowanie w konstrukcji $\mathbb{R}$ | Konstrukcja Dedekinda (przekroje $\mathbb{Q}$) | Naturalne w dowodach analizy |
| Symetria | Symetryczny (dotyczy obu części) | Asymetryczny (tylko ogr. z góry; inf wynika) |
Zbiór $A = \{r \in \mathbb{Q} : r \gt 0 \text{ i } r^2 \lt 2\}$ jest niepusty i ograniczony z góry w $\mathbb{Q}$, ale $\sup A = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Definiujemy przekrój $\mathbb{Q}$: \[ L = \{r \in \mathbb{Q} : r \lt 0 \text{ lub } r^2 \lt 2\}, \qquad B = \{r \in \mathbb{Q} : r \gt 0 \text{ i } r^2 \gt 2\}. \]
Wtedy $L \cup B = \mathbb{Q}$ (bo nie istnieje $r \in \mathbb{Q}$ z $r^2 = 2$), $L \neq \emptyset$, $B \neq \emptyset$, i $l \lt b$ dla $l \in L$, $b \in B$.
Ale nie istnieje $c \in \mathbb{Q}$ z $l \leq c \leq b$ dla wszystkich $l \in L$, $b \in B$, bo taki $c$ musiałby spełniać $c^2 = 2$, a $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Oba powyższe aksjomaty są również równoważne (w ciałach uporządkowanych) z:
Dowody tych równoważności tworzą „cykl implikacji" — każde stwierdzenie wynika z poprzedniego, a ostatnie implikuje pierwsze.