T06. Kresy zbiorów. Aksjomat kresu górnego
1. Zbiory ograniczone
Definicja
Niech $A \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$.
- $A$ jest ograniczony z góry, jeśli $\exists\, M \in \mathbb{R}\;\forall\, a \in A\colon a \leq M$.
Liczbę $M$ nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru $A$.
- $A$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\exists\, m \in \mathbb{R}\;\forall\, a \in A\colon a \geq m$.
Liczbę $m$ nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru $A$.
- $A$ jest ograniczony, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.
Przykłady
- $A = (0, 1)$: ograniczony z góry (np. $M = 1, 2, 100$) i z dołu (np. $m = 0, -5$).
- $A = \mathbb{N}$: ograniczony z dołu ($m = 1$), nieograniczony z góry.
- $A = \{(-1)^n : n \in \mathbb{N}\} = \{-1, 1\}$: ograniczony.
- $A = \mathbb{R}$: nieograniczony z góry i z dołu.
2. Kres górny (supremum)
Definicja
Niech $A \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$, $A$ ograniczony z góry.
Liczbę $s \in \mathbb{R}$ nazywamy kresem górnym (supremum) zbioru $A$ i piszemy $s = \sup A$, jeśli:
- $s$ jest ograniczeniem górnym $A$: $\;\forall\, a \in A\colon a \leq s$,
- $s$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym: $\;\forall\, M \in \mathbb{R}\colon \left(\forall\, a \in A\colon a \leq M\right) \Rightarrow s \leq M$.
Równoważna charakteryzacja supremum
$s = \sup A$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
- $\forall\, a \in A\colon a \leq s$,
- $\forall\, \varepsilon \gt 0\;\exists\, a \in A\colon a \gt s - \varepsilon$.
Warunek 2 mówi: każda liczba mniejsza od $s$ nie jest ograniczeniem górnym $A$
— zawsze znajdziemy element $A$ „blisko" $s$ od dołu.
Dowód równoważności
($\Rightarrow$) Niech $s = \sup A$ (w sensie definicji). Weźmy $\varepsilon \gt 0$.
Wtedy $s - \varepsilon \lt s$, więc $s - \varepsilon$ nie jest ograniczeniem górnym $A$
(bo $s$ jest najmniejszym). Zatem $\exists\, a \in A\colon a \gt s - \varepsilon$. $\checkmark$
($\Leftarrow$) Warunek 1 daje, że $s$ jest ograniczeniem górnym.
Niech $M$ będzie dowolnym ograniczeniem górnym $A$. Gdyby $M \lt s$, to dla $\varepsilon = s - M \gt 0$
z warunku 2 istnieje $a \in A$ z $a \gt s - \varepsilon = M$, co przeczy temu, że $M$ jest ograniczeniem górnym.
Zatem $s \leq M$, czyli $s$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym. $\square$
3. Kres dolny (infimum)
Definicja
Niech $A \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$, $A$ ograniczony z dołu.
Liczbę $i \in \mathbb{R}$ nazywamy kresem dolnym (infimum) zbioru $A$ i piszemy $i = \inf A$, jeśli:
- $i$ jest ograniczeniem dolnym $A$: $\;\forall\, a \in A\colon a \geq i$,
- $i$ jest największym ograniczeniem dolnym: $\;\forall\, m \in \mathbb{R}\colon \left(\forall\, a \in A\colon a \geq m\right) \Rightarrow m \leq i$.
Równoważna charakteryzacja
$i = \inf A$ $\iff$
- $\forall\, a \in A\colon a \geq i$,
- $\forall\, \varepsilon \gt 0\;\exists\, a \in A\colon a \lt i + \varepsilon$.
Jedyność supremum i infimum
Twierdzenie: Jeśli $\sup A$ (resp. $\inf A$) istnieje, to jest jedyny.
Dowód: Niech $s_1, s_2$ będą supremami $A$.
Z warunku 2 definicji: $s_1 \leq s_2$ (bo $s_2$ jest ograniczeniem górnym)
i $s_2 \leq s_1$ (bo $s_1$ jest ograniczeniem górnym). Zatem $s_1 = s_2$. $\square$
4. Maximum i minimum a supremum i infimum
- Jeśli $\sup A \in A$, to $\sup A = \max A$ (element największy).
- Jeśli $\inf A \in A$, to $\inf A = \min A$ (element najmniejszy).
- Supremum i infimum nie muszą należeć do zbioru $A$.
Przykłady
- $A = (0, 1)$: $\inf A = 0$, $\sup A = 1$, ale $0 \notin A$ i $1 \notin A$, więc $A$ nie ma minimum ani maximum.
- $A = [0, 1]$: $\inf A = \min A = 0$, $\sup A = \max A = 1$.
- $A = \left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}$: $\sup A = \max A = 1$, $\inf A = 0 \notin A$ (brak minimum).
- $A = \{1, 2, 5\}$: $\min A = 1$, $\max A = 5$.
- $A = \left\{1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots\right\}$:
$\inf A = \min A = 0$, $\sup A = 1 \notin A$ (brak maximum).
5. Aksjomat kresu górnego (aksjomat ciągłości / zupełności)
Aksjomat
Każdy niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ograniczony z góry ma kres górny w $\mathbb{R}$:
\[
\forall\, A \subseteq \mathbb{R}\colon \left(A \neq \emptyset \;\wedge\; A \text{ ograniczony z góry}\right) \implies \exists\, \sup A \in \mathbb{R}.
\]
Aksjomat kresu górnego jest tym, co odróżnia $\mathbb{R}$ od $\mathbb{Q}$.
W $\mathbb{Q}$ aksjomat ten nie jest spełniony — np. zbiór $\{r \in \mathbb{Q} : r^2 \lt 2\}$
jest ograniczony z góry w $\mathbb{Q}$, ale nie ma supremum w $\mathbb{Q}$ (bo $\sup = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$).
Wniosek: istnienie infimum
Każdy niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ograniczony z dołu ma kres dolny w $\mathbb{R}$.
Dowód
Niech $A \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$, $A$ ograniczony z dołu.
Rozważmy zbiór ograniczeń dolnych:
\[
B = \{m \in \mathbb{R} : \forall\, a \in A\colon m \leq a\}.
\]
$B \neq \emptyset$ (bo $A$ jest ograniczony z dołu). $B$ jest ograniczony z góry (każdy element $A$ jest ograniczeniem górnym $B$).
Z aksjomatu kresu górnego istnieje $s = \sup B \in \mathbb{R}$. Pokażemy, że $s = \inf A$.
$s$ jest ograniczeniem dolnym $A$: Dla każdego $a \in A$: $a$ jest ograniczeniem górnym $B$,
więc $s \leq a$ (bo $s = \sup B$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym $B$).
$s$ jest największym ograniczeniem dolnym: Jeśli $m$ jest ograniczeniem dolnym $A$, to $m \in B$,
więc $m \leq s$ (bo $s = \sup B$).
Zatem $s = \inf A$. $\square$
6. Własności kresów
Monotoniczność
Jeśli $A \subseteq B \subseteq \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$, to:
- jeśli $B$ jest ograniczony z góry, to $\sup A \leq \sup B$,
- jeśli $B$ jest ograniczony z dołu, to $\inf A \geq \inf B$.
Kresy sumy i iloczynu przez skalar
Niech $A, B \subseteq \mathbb{R}$ będą niepuste i ograniczone. Niech $c \in \mathbb{R}$. Wtedy:
- $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$, gdzie $A + B = \{a + b : a \in A,\, b \in B\}$.
- $\inf(A + B) = \inf A + \inf B$.
- Jeśli $c \gt 0$: $\sup(cA) = c \cdot \sup A$, $\inf(cA) = c \cdot \inf A$.
- Jeśli $c \lt 0$: $\sup(cA) = c \cdot \inf A$, $\inf(cA) = c \cdot \sup A$.
- $\sup(-A) = -\inf A$, $\inf(-A) = -\sup A$, gdzie $-A = \{-a : a \in A\}$.
Dowód: $\sup(-A) = -\inf A$
Niech $i = \inf A$. Wtedy:
$-i$ jest ograniczeniem górnym $-A$: Dla $a \in A$: $a \geq i$, więc $-a \leq -i$.
$-i$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym: Niech $M$ będzie ograniczeniem górnym $-A$,
tzn. $-a \leq M$ dla każdego $a \in A$, czyli $a \geq -M$.
Zatem $-M$ jest ograniczeniem dolnym $A$, więc $-M \leq i$, czyli $M \geq -i$.
Stąd $\sup(-A) = -i = -\inf A$. $\square$
Dowód: $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$
Oznaczmy $s_A = \sup A$, $s_B = \sup B$.
$s_A + s_B$ jest ograniczeniem górnym $A + B$:
Dla $a \in A$, $b \in B$: $a \leq s_A$ i $b \leq s_B$, więc $a + b \leq s_A + s_B$.
$s_A + s_B$ jest najmniejszym: Weźmy $\varepsilon \gt 0$.
Z charakteryzacji supremum: $\exists\, a \in A\colon a \gt s_A - \frac{\varepsilon}{2}$
i $\exists\, b \in B\colon b \gt s_B - \frac{\varepsilon}{2}$.
Wtedy $a + b \gt s_A + s_B - \varepsilon$, więc $s_A + s_B - \varepsilon$ nie jest ograniczeniem górnym $A + B$.
Zatem $\sup(A + B) = s_A + s_B$. $\square$
7. Kresy rozszerzone
Dla wygody notacji przyjmujemy:
- Jeśli $A$ jest nieograniczony z góry: $\sup A = +\infty$.
- Jeśli $A$ jest nieograniczony z dołu: $\inf A = -\infty$.
- $\sup \emptyset = -\infty$, $\inf \emptyset = +\infty$.
Dzięki temu każdy podzbiór $\mathbb{R}$ (w tym pusty) ma supremum i infimum w $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$.
8. Równoważne sformułowania aksjomatu ciągłości
Następujące warunki są równoważne (w ciałach uporządkowanych):
- Aksjomat kresu górnego: Każdy niepusty, ograniczony z góry podzbiór ma supremum.
- Aksjomat kresu dolnego: Każdy niepusty, ograniczony z dołu podzbiór ma infimum.
- Zasada Dedekinda (przekroju): Jeśli $A \cup B = \mathbb{R}$, $A, B \neq \emptyset$,
$\forall\, a \in A\;\forall\, b \in B\colon a \leq b$, to $\exists\, c \in \mathbb{R}\colon$
$a \leq c \leq b$ dla wszystkich $a \in A$, $b \in B$.
- Twierdzenie o ciągach monotonicznych: Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
- Twierdzenie Bolzana–Weierstrassa: Każdy ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny.
- Zasada Cantora (o przedziałach zstępujących): Jeśli $[a_n, b_n] \supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]$
i $b_n - a_n \to 0$, to $\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \{c\}$ dla pewnego $c \in \mathbb{R}$.
Każde z tych stwierdzeń, dodane do aksjomatów ciała uporządkowanego, daje pełną charakteryzację $\mathbb{R}$.
Podsumowanie
- $\sup A$ = najmniejsze ograniczenie górne; $\inf A$ = największe ograniczenie dolne.
- Charakteryzacja $\varepsilon$: $s = \sup A$ $\iff$ ($s$ jest ogr. górnym i $\forall\,\varepsilon \gt 0\;\exists\, a \in A\colon a \gt s - \varepsilon$).
- Aksjomat kresu górnego: Każdy niepusty, ograniczony z góry podzbiór $\mathbb{R}$ ma supremum w $\mathbb{R}$.
- Istnienie infimum wynika z aksjomatu kresu górnego (przez $\sup$ zbioru minorant).
- $\sup A \in A \iff \sup A = \max A$; supremum nie musi należeć do zbioru.
- $\sup(-A) = -\inf A$, $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$.
- Aksjomat kresu górnego jest równoważny zasadzie Dedekinda, tw. o ciągach monotonicznych, tw. Bolzana–Weierstrassa i zasadzie Cantora.