Aksjomat ciągłości jest tym, co odróżnia zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ od zbioru liczb wymiernych $\mathbb{Q}$. Zbiór $\mathbb{Q}$ spełnia wszystkie aksjomaty ciała uporządkowanego, ale nie spełnia aksjomatu ciągłości.
Aksjomat: Dla dowolnych niepustych podzbiorów $A, B$ zbioru liczb rzeczywistych takich, że każdy element zbioru $A$ jest nie większy od dowolnego elementu zbioru $B$, istnieje liczba rzeczywista $r$ taka, że każdy element zbioru $A$ jest nie większy od $r$ i każdy element zbioru $B$ jest nie mniejszy od $r$.
Symbolicznie: \[ \forall A, B \subseteq \mathbb{R},\ A, B \neq \emptyset,\ (\forall a \in A\ \forall b \in B:\ a \leq b) \Rightarrow \exists r \in \mathbb{R}:\ (\forall a \in A:\ a \leq r) \land (\forall b \in B:\ r \leq b) \]
Intuicja: Jeśli mamy dwa zbiory „rozdzielone" (każdy element pierwszego jest $\leq$ od każdego elementu drugiego), to istnieje liczba rzeczywista „między nimi" — element rozdzielający.
Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ nie spełnia aksjomatu ciągłości.
Zdefiniujmy dwa podzbiory zbioru $\mathbb{Q}$: \[ A = \{q \in \mathbb{Q} : q \lt 0 \text{ lub } q^2 \lt 2\} = \{q \in \mathbb{Q} : q \lt \sqrt{2}\} \] \[ B = \{q \in \mathbb{Q} : q \gt 0 \text{ i } q^2 \gt 2\} = \{q \in \mathbb{Q} : q \gt \sqrt{2}\} \]
Uwaga: Używamy $\sqrt{2}$ tylko do opisu zbiorów — same zbiory $A$ i $B$ są zdefiniowane wyłącznie w terminach liczb wymiernych (warunki $q^2 \lt 2$ i $q^2 \gt 2$).
Niech $a \in A$ i $b \in B$. Wtedy:
Zatem $a \lt \sqrt{2} \lt b$, czyli $a \lt b$, a w szczególności $a \leq b$.
Załóżmy, że istnieje $r \in \mathbb{Q}$ takie, że: \[ \forall a \in A:\ a \leq r \quad \text{oraz} \quad \forall b \in B:\ r \leq b \]
Wtedy $r$ musi spełniać: $a \leq r \leq b$ dla wszystkich $a \in A$ i $b \in B$.
Ponieważ $A$ zawiera wszystkie wymierne mniejsze od $\sqrt{2}$, a $B$ zawiera wszystkie wymierne większe od $\sqrt{2}$, musi zachodzić: \[ r \geq \sup A = \sqrt{2} \quad \text{oraz} \quad r \leq \inf B = \sqrt{2} \]
Zatem $r = \sqrt{2}$.
Ale $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna), więc nie istnieje element rozdzielający $r$ w zbiorze $\mathbb{Q}$.
Twierdzenie: Liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna.
Dowód (nie wprost): Załóżmy, że $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Wtedy istnieją $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, takie że $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, gdzie ułamek $\frac{p}{q}$ jest nieskracalny (tzn. $\gcd(p, q) = 1$).
Z równania $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ otrzymujemy: \[ 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 \]
Zatem $p^2$ jest parzyste, więc $p$ jest parzyste. Niech $p = 2k$ dla pewnego $k \in \mathbb{Z}$.
Podstawiając: \[ (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 \]
Zatem $q^2$ jest parzyste, więc $q$ jest parzyste.
Otrzymaliśmy, że zarówno $p$, jak i $q$ są parzyste, co przeczy założeniu, że $\gcd(p, q) = 1$.
Sprzeczność. Zatem $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\square$
Zbiory $A$ i $B$ spełniają założenia aksjomatu ciągłości (są niepuste i każdy element $A$ jest $\leq$ od każdego elementu $B$), ale nie istnieje liczba wymierna $r \in \mathbb{Q}$ rozdzielająca te zbiory.
Oznacza to, że zbiór $\mathbb{Q}$ nie spełnia aksjomatu ciągłości.
Intuicyjnie: w zbiorze $\mathbb{Q}$ są „dziury" — miejsca, gdzie „brakuje" liczb. Jedną z takich dziur jest $\sqrt{2}$.
Analogiczne przykłady można skonstruować dla innych liczb niewymiernych:
Każda liczba niewymierna odpowiada „dziurze" w zbiorze $\mathbb{Q}$.