„Konstrukcja Cantora” (często: konstrukcja przez ciągi Cauchy'ego) buduje liczby rzeczywiste \(\mathbb{R}\) z liczb wymiernych \(\mathbb{Q}\) poprzez domknięcie \(\mathbb{Q}\) na granice ciągów zbieżnych w sensie Cauchy’ego. Intuicja: jeśli ciąg wymiernych „powinien mieć granicę”, to w \(\mathbb{R}\) ta granica istnieje.
Startujemy od \(\mathbb{Q}\) z dodawaniem i mnożeniem oraz zwykłym porządkiem \(\le\). Wiemy, że w \(\mathbb{Q}\) istnieją ciągi, które „dążą do” liczb niewymiernych, np. przybliżenia \(\sqrt{2}\), ale sama \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
Ciąg \((a_n)\) liczb wymiernych nazywamy ciągiem Cauchy’ego, gdy: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\ge N:\ |a_n-a_m|<\varepsilon. \] Oznaczmy przez \(\mathcal{C}\) zbiór wszystkich ciągów Cauchy’ego w \(\mathbb{Q}\).
W \(\mathbb{R}\) każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę. W \(\mathbb{Q}\) — niekoniecznie. To właśnie „brakujące granice” chcemy dodać.
Na \(\mathcal{C}\) definiujemy relację \(\sim\): \[ (a_n)\sim(b_n)\quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0. \] W języku \(\varepsilon\)-\(N\): \[ (a_n)\sim(b_n)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |a_n-b_n|<\varepsilon. \]
Intuicja: dwa ciągi Cauchy’ego opisują „tę samą liczbę rzeczywistą”, jeśli ich różnica dąży do zera.
Liczbami rzeczywistymi (w konstrukcji Cantora) nazywamy klasy równoważności ciągów Cauchy’ego wymiernych: \[ \mathbb{R} := \mathcal{C}/\sim. \] Element \(\mathbb{R}\) to więc klasa \([a_n]\), czyli „wszystkie ciągi Cauchy’ego równoważne z \((a_n)\)”.
Dla klas \([a_n]\) i \([b_n]\) definiujemy: \[ [a_n] + [b_n] := [a_n+b_n], \qquad [a_n]\cdot[b_n] := [a_n b_n], \qquad -[a_n] := [-a_n]. \] Zero i jedynkę bierzemy jako klasy ciągów stałych: \[ 0 := [0,0,0,\dots], \qquad 1 := [1,1,1,\dots]. \]
Trzeba sprawdzić, że definicje nie zależą od wyboru reprezentanta. Tzn. jeśli \((a_n)\sim(a'_n)\) i \((b_n)\sim(b'_n)\), to \((a_n+b_n)\sim(a'_n+b'_n)\) oraz \((a_nb_n)\sim(a'_n b'_n)\). To jest standardowe, opiera się na nierównościach trójkąta i własnościach granic w \(\mathbb{Q}\).
Jest kilka równoważnych sposobów zdefiniowania porządku. Jedna wygodna wersja: mówimy, że \[ [a_n] \le [b_n] \] gdy istnieje taki ciąg \((\varepsilon_n)\) liczb wymiernych, że \(\varepsilon_n\ge 0\) oraz \(\varepsilon_n\to 0\), a ponadto dla wszystkich \(n\): \[ a_n \le b_n + \varepsilon_n. \]
Intuicja: „w granicy” wyrazy \(a_n\) nie przekraczają \(b_n\). W praktyce często używa się też równoważnej definicji przez dodatniość: \([a_n]\ge 0\) gdy dla pewnego \(N\) zachodzi \(a_n\ge -\varepsilon\) dla dużych \(n\) i dowolnie małego \(\varepsilon>0\).
Każdej liczbie wymiernej \(q\in\mathbb{Q}\) przypisujemy klasę ciągu stałego: \[ \iota:\mathbb{Q}\to\mathbb{R},\qquad \iota(q) = [q,q,q,\dots]. \] To jest osadzenie zgodne z działaniami i porządkiem (tzn. zachowuje \(+\), \(\cdot\) i \(\le\)). W tym sensie utożsamiamy \(\mathbb{Q}\) z jego obrazem w \(\mathbb{R}\).
Kluczowy efekt konstrukcji Cantora:
Twierdzenie (zupełność \(\mathbb{R}\)): każdy ciąg Cauchy’ego liczb rzeczywistych (czyli klas \([a^{(k)}_n]\)) ma granicę w \(\mathbb{R}\).
To jest formalny zapis intuicji: „dodaliśmy brakujące granice”. Dzięki temu w \(\mathbb{R}\) istnieją granice wszystkich „sensownych” ciągów, a w szczególności mamy liczby takie jak \(\sqrt{2}\), \(\pi\), itp.
Weźmy dowolny ciąg wymiernych przybliżeń \(\sqrt{2}\), np. uzyskany z metody dzielenia przedziału (albo z rozwinięcia dziesiętnego). Taki ciąg \((s_n)\subset\mathbb{Q}\) może spełniać: \[ s_n^2 < 2 \quad \text{i} \quad 2 - s_n^2 \to 0. \] Zwykle można pokazać, że \((s_n)\) jest ciągiem Cauchy’ego w \(\mathbb{Q}\). Wtedy \([s_n]\in\mathbb{R}\) jest konkretną liczbą rzeczywistą, która odpowiada \(\sqrt{2}\).
Różne ciągi przybliżeń \(\sqrt{2}\) dadzą tę samą liczbę rzeczywistą, bo będą równoważne w sensie \(\sim\).
Istnieje też inna klasyczna konstrukcja \(\mathbb{R}\): przekroje Dedekinda. Obie prowadzą do (izomorficznie) tej samej struktury \(\mathbb{R}\), ale Cantor buduje \(\mathbb{R}\) przez „uzupełnienie” \(\mathbb{Q}\) o granice ciągów Cauchy’ego.