Konstrukcja Dedekinda (1872) buduje liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$ z liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ za pomocą tzw. przekrojów (cięć). Intuicja: każda liczba rzeczywista „dzieli" zbiór $\mathbb{Q}$ na dwie części — liczby mniejsze i większe od niej.
Startujemy od zbioru $\mathbb{Q}$ z dodawaniem, mnożeniem i porządkiem $\le$. Wiemy, że $\mathbb{Q}$ ma „dziury" — np. nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi $2$. Chcemy te dziury „zapełnić".
Przekrojem Dedekinda (lub cięciem) nazywamy parę $(A, B)$ niepustych podzbiorów $\mathbb{Q}$ takich, że:
Intuicja: $A$ to „wszystkie liczby wymierne na lewo" od pewnego punktu, a $B$ to „wszystkie na prawo". Warunek braku maksimum w $A$ zapewnia jednoznaczność reprezentacji.
Liczbami rzeczywistymi (w konstrukcji Dedekinda) nazywamy zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda: \[ \mathbb{R} := \{(A,B) : (A,B) \text{ jest przekrojem Dedekinda}\}. \] Często utożsamiamy przekrój $(A,B)$ z samym zbiorem $A$ (bo $B = \mathbb{Q} \setminus A$).
Dla $q \in \mathbb{Q}$ definiujemy: \[ A_q = \{r \in \mathbb{Q} : r < q\}, \qquad B_q = \{r \in \mathbb{Q} : r \ge q\}. \] Para $(A_q, B_q)$ jest przekrojem Dedekinda. Zbiór $A_q$ nie ma maksimum (bo dla każdego $r < q$ istnieje $r' \in \mathbb{Q}$ takie, że $r < r' < q$).
Definiujemy: \[ A = \{r \in \mathbb{Q} : r < 0 \text{ lub } r^2 < 2\}, \qquad B = \{r \in \mathbb{Q} : r \ge 0 \text{ i } r^2 \ge 2\}. \] Para $(A, B)$ jest przekrojem Dedekinda. Zbiór $A$ nie ma maksimum — gdyby $a = \max A$, to $a^2 < 2$, ale można znaleźć wymierne $a' > a$ takie, że $(a')^2 < 2$, więc $a' \in A$ — sprzeczność.
Ten przekrój reprezentuje liczbę $\sqrt{2}$, która nie należy do $\mathbb{Q}$.
Dla przekrojów $(A_1, B_1)$ i $(A_2, B_2)$ definiujemy: \[ (A_1, B_1) \le (A_2, B_2) \quad \Longleftrightarrow \quad A_1 \subseteq A_2. \]
Intuicja: im „większa" liczba rzeczywista, tym więcej liczb wymiernych leży „na lewo" od niej.
Dla przekrojów $(A_1, B_1)$ i $(A_2, B_2)$ definiujemy sumę: \[ (A_1, B_1) + (A_2, B_2) := (A_1 + A_2,\ \mathbb{Q} \setminus (A_1 + A_2)), \] gdzie $A_1 + A_2 = \{a_1 + a_2 : a_1 \in A_1,\ a_2 \in A_2\}$.
Mnożenie definiuje się podobnie, ale wymaga rozważenia przypadków ze względu na znak (dla liczb dodatnich, ujemnych i zera). Dla dodatnich przekrojów: \[ A_1 \cdot A_2 = \{r \in \mathbb{Q} : r < a_1 \cdot a_2 \text{ dla pewnych } a_1 \in A_1^+,\ a_2 \in A_2^+\}, \] gdzie $A^+ = \{a \in A : a > 0\}$.
Dla przekroju $(A, B)$ definiujemy: \[ -(A, B) := (\{r \in \mathbb{Q} : -r \in B \text{ i } -r \ne \min B\},\ \{r \in \mathbb{Q} : -r \in A\} \cup \{\min B\}). \] (Jeśli $B$ nie ma minimum, wzór upraszcza się.)
Trzeba sprawdzić, że:
Dowody są techniczne, ale standardowe — opierają się na własnościach $\mathbb{Q}$.
Każdej liczbie wymiernej $q \in \mathbb{Q}$ przypisujemy przekrój: \[ \iota: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, \qquad \iota(q) = (A_q, B_q) = (\{r \in \mathbb{Q} : r < q\},\ \{r \in \mathbb{Q} : r \ge q\}). \] To osadzenie zachowuje działania i porządek. W tym sensie utożsamiamy $\mathbb{Q}$ z jego obrazem w $\mathbb{R}$.
Twierdzenie: Każdy niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ograniczony z góry ma kres górny (supremum) w $\mathbb{R}$.
Dowód (szkic): Niech $S \subseteq \mathbb{R}$ będzie niepusty i ograniczony z góry. Każdy element $S$ to przekrój $(A_s, B_s)$. Definiujemy: \[ A^* = \bigcup_{s \in S} A_s. \] Można pokazać, że $(A^*, \mathbb{Q} \setminus A^*)$ jest przekrojem Dedekinda i jest kresem górnym $S$.
To jest kluczowa własność odróżniająca $\mathbb{R}$ od $\mathbb{Q}$ — w $\mathbb{Q}$ aksjomat kresu górnego nie zachodzi.
Istnieje też inna klasyczna konstrukcja $\mathbb{R}$: konstrukcja Cantora (przez ciągi Cauchy'ego). Obie prowadzą do (izomorficznie) tej samej struktury $\mathbb{R}$, ale Dedekind buduje $\mathbb{R}$ przez „cięcia" zbioru $\mathbb{Q}$, a Cantor przez „uzupełnienie" $\mathbb{Q}$ o granice ciągów.