Wyróżniamy następujący łańcuch podzbiorów $\mathbb{R}$: \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \qquad \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \neq \emptyset. \]
Zbiór $\mathbb{N}$ jest najmniejszym podzbiorem $\mathbb{R}$ spełniającym:
Równoważnie: $\mathbb{N}$ jest przekrojem wszystkich podzbiorów $\mathbb{R}$ zawierających $1$ i zamkniętych na dodawanie $1$.
Twierdzenie: Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $n \gt x$.
Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że $\mathbb{N}$ jest ograniczony z góry. Z aksjomatu ciągłości (zupełności) istnieje $s = \sup \mathbb{N} \in \mathbb{R}$.
Wtedy $s - 1$ nie jest ograniczeniem górnym $\mathbb{N}$, więc istnieje $n_0 \in \mathbb{N}$ takie, że $n_0 \gt s - 1$, czyli $n_0 + 1 \gt s$. Ale $n_0 + 1 \in \mathbb{N}$, co przeczy temu, że $s = \sup \mathbb{N}$. Sprzeczność. $\square$
\[ \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{-n : n \in \mathbb{N}\} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}. \]
Twierdzenie: Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ istnieje dokładnie jedna liczba $n \in \mathbb{Z}$ taka, że $n \leq x \lt n + 1$.
Dowód:
Z własności Archimedesa zbiór $A = \{k \in \mathbb{Z} : k \leq x\}$ jest niepusty i ograniczony z góry (przez $x$). Z zasady minimum dla $\mathbb{Z}$ (ograniczonego z dołu) zbiór $\{k \in \mathbb{Z} : k \gt x\}$ ma element najmniejszy $m$. Wtedy $n = m - 1$ spełnia $n \leq x \lt n + 1$.
Jedyność: jeśli $n \leq x \lt n+1$ i $n' \leq x \lt n'+1$, to $|n - n'| \lt 1$, a ponieważ $n, n' \in \mathbb{Z}$, mamy $n = n'$. $\square$
Oznaczenie: $\lfloor x \rfloor = n$ — część całkowita (podłoga) liczby $x$.
\[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}\right\}. \]
Twierdzenie: Dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$, $a \lt b$, istnieje $r \in \mathbb{Q}$ taki, że $a \lt r \lt b$.
Dowód:
Ponieważ $b - a \gt 0$, z własności Archimedesa istnieje $q \in \mathbb{N}$ takie, że $q(b - a) \gt 1$, czyli $qb - qa \gt 1$.
Niech $p = \lfloor qa \rfloor + 1$. Wtedy $p \gt qa$, więc $\frac{p}{q} \gt a$.
Ponadto $p = \lfloor qa \rfloor + 1 \leq qa + 1 \lt qb$ (bo $qb - qa \gt 1$), więc $\frac{p}{q} \lt b$.
Zatem $r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ i $a \lt r \lt b$. $\square$
Liczbę $x \in \mathbb{R}$ nazywamy niewymierną, jeśli $x \notin \mathbb{Q}$, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci $\frac{p}{q}$ z $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$.
Twierdzenie: Dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$, $a \lt b$, istnieje $t \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ taki, że $a \lt t \lt b$.
Dowód:
Rozważmy $a' = a - \sqrt{2}$ i $b' = b - \sqrt{2}$. Mamy $a' \lt b'$. Z gęstości $\mathbb{Q}$ w $\mathbb{R}$ istnieje $r \in \mathbb{Q}$ taki, że $a' \lt r \lt b'$.
Niech $t = r + \sqrt{2}$. Wtedy $a \lt t \lt b$. Ponadto $t \notin \mathbb{Q}$, bo gdyby $t \in \mathbb{Q}$, to $\sqrt{2} = t - r \in \mathbb{Q}$, sprzeczność. $\square$
Nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat jest równy $2$.
Załóżmy, że $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, gdzie $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ i $\text{NWD}(p, q) = 1$ (ułamek nieskracalny).
Wtedy $2 = \frac{p^2}{q^2}$, czyli $p^2 = 2q^2$.
Stąd $p^2$ jest parzyste, więc $p$ jest parzyste (bo kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty). Zapiszmy $p = 2k$ dla pewnego $k \in \mathbb{Z}$.
Podstawiając: $(2k)^2 = 2q^2$, czyli $4k^2 = 2q^2$, czyli $q^2 = 2k^2$.
Stąd $q^2$ jest parzyste, więc $q$ jest parzyste.
Ale $p$ i $q$ są oba parzyste, co przeczy założeniu $\text{NWD}(p, q) = 1$. Sprzeczność. $\square$
Twierdzenie: Jeśli $n \in \mathbb{N}$ i $n$ nie jest kwadratem doskonałym, to $\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}$.
Dowód:
Załóżmy, że $\sqrt{n} = \frac{p}{q}$ z $\text{NWD}(p, q) = 1$. Wtedy $p^2 = nq^2$.
Niech $r$ będzie liczbą pierwszą dzielącą $n$, ale taką, że $r^{2k+1} \mid n$ (tzn. $r$ występuje w rozkładzie $n$ w nieparzystej potędze — taka istnieje, bo $n$ nie jest kwadratem doskonałym).
W rozkładzie $p^2$ każda liczba pierwsza występuje w parzystej potędze, podobnie w $q^2$. Ale w $nq^2$ liczba $r$ występuje w nieparzystej potędze. Zatem $p^2 \neq nq^2$ — sprzeczność. $\square$
Twierdzenie: Istnieje $x \in \mathbb{R}$, $x \gt 0$, takie, że $x^2 = 2$.
Dowód (z aksjomatu ciągłości):
Niech $A = \{t \in \mathbb{R} : t \gt 0 \text{ i } t^2 \lt 2\}$.
Zbiór $A$ jest niepusty ($1 \in A$, bo $1^2 = 1 \lt 2$) i ograniczony z góry ($2$ jest ograniczeniem górnym, bo jeśli $t \gt 2$, to $t^2 \gt 4 \gt 2$).
Z aksjomatu ciągłości istnieje $x = \sup A$. Pokażemy, że $x^2 = 2$.
Przypadek $x^2 \lt 2$: Niech $\varepsilon = \frac{2 - x^2}{2x + 1} \gt 0$. Wtedy: \[ (x + \varepsilon)^2 = x^2 + 2x\varepsilon + \varepsilon^2 \lt x^2 + (2x+1)\varepsilon = x^2 + (2 - x^2) = 2. \] Zatem $x + \varepsilon \in A$, co przeczy temu, że $x = \sup A$.
Przypadek $x^2 \gt 2$: Niech $\varepsilon = \frac{x^2 - 2}{2x} \gt 0$. Wtedy: \[ (x - \varepsilon)^2 = x^2 - 2x\varepsilon + \varepsilon^2 \gt x^2 - 2x\varepsilon = x^2 - (x^2 - 2) = 2. \] Zatem dla każdego $t \gt x - \varepsilon$ mamy $t^2 \gt (x-\varepsilon)^2 \gt 2$, więc $t \notin A$. Czyli $x - \varepsilon$ jest ograniczeniem górnym $A$, co przeczy temu, że $x = \sup A$.
Oba przypadki prowadzą do sprzeczności, więc $x^2 = 2$. $\square$
Zbiór $A = \{r \in \mathbb{Q} : r \gt 0 \text{ i } r^2 \lt 2\}$ jest niepusty i ograniczony z góry w $\mathbb{Q}$, ale nie ma supremum w $\mathbb{Q}$, bo $\sup A = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
To pokazuje, że $\mathbb{Q}$ nie spełnia aksjomatu ciągłości (zupełności). Aksjomat ten odróżnia $\mathbb{R}$ od $\mathbb{Q}$ i jest kluczowy dla analizy matematycznej.
Niech $r \in \mathbb{Q}$ i $t \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Załóżmy nie wprost, że $r + t = s \in \mathbb{Q}$.
Wtedy $t = s - r \in \mathbb{Q}$ (bo $\mathbb{Q}$ jest zamknięty na odejmowanie), co przeczy temu, że $t \notin \mathbb{Q}$. $\square$
| Zbiór | Zamknięty na | Gęsty w $\mathbb{R}$? | Moc |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | $+, \cdot$ | Nie | $\aleph_0$ (przeliczalny) |
| $\mathbb{Z}$ | $+, -, \cdot$ | Nie | $\aleph_0$ |
| $\mathbb{Q}$ | $+, -, \cdot, \div$ | Tak | $\aleph_0$ |
| $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ | Żadne | Tak | $\mathfrak{c}$ (nieprzeliczalny) |
| $\mathbb{R}$ | $+, -, \cdot, \div$ | — | $\mathfrak{c}$ |