Analiza z Claude Opus 4.6

1. Aksjomaty zbioru liczb rzeczywistych
2. Podzbiory liczb rzeczywistych: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ i ich własności. Istnienie liczb niewymiernych.
3. Konstrukcja Dedekinda liczb rzeczywistych
4. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych
5. Aksjomat ciagłości. Przykład, że w $\mathbb{Q}$ aksjomat ciągłosci nie jest prawdziwy.
6. Kresy zbiorów, aksjomat kresu górnego
7. Porównanie aksjomatu ciagłości z aksjomatem kresu górnego
8. Nieograniczonosć zbioru $\mathbb{N}$ w $\mathbb{R}$
9. Zasada Archimedesa
10. Gęstość zbioru $\mathbb{Q}$ w $\mathbb{R}$
11. Część całkowita liczby rzeczywistej (istnienie, wykres)
12. Wartość bezwzględna - definicja, wykres, własności
13. Nierówności między średnimi
14. Funkcje różnowartościowe i na; przykłady
15. Obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję; przykłady
16. Funkcja odwracalna i odwrotna
17. Funkcje ograniczone i nieograniczone; przykłady
18. Funkcje parzyste i nieparzyste; przykłady
19. Funkcje monotoniczne; przykłady
20. Funkcje okresowe; przykłady
21. Funkcje elementarne - przegląd, wykresy, własności
22. Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym (przedstawienie definicji dla wykładników naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych; uzasadnienie ich poprawności, w tym twierdzenie o istnieniu pierwiastka)
23. Własności potęgi o wykładniku rzeczywistym (dla ambitnych - pełne dowody)
24. Istnienie logarytmu
25. Definicja ciągu liczbowego; ciągi monotoniczne i ciągi ograniczone; przykłady
26. Granica ciągu; rozbieżność do nieskończoności; przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych
27. Jednoznaczność granicy ciągu
28. J8Zbieżność sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów
29. Twierdzenie o trzech ciągach
30. Zbieżność ciągu $(a_n)$ i zbieżność ciągu $(|a_n|)$
31. Związek między zbieżnością a ograniczonością ciągu
32. Wykazać, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny
33. Zbieżność ciągu i zbieżność jego podciągów
34. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
35. Granica górna i dolna ciągu; własności, przykłady
36. Wykazać, że $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1$ dla $a\gt 1$.
37. Wykazać, że $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1$.
38. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x$, to $\lim\limits_{n \to \infty}a^{x_n}=a^x$ dla $a\gt 1$.
39. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x$, to $\lim\limits_{n \to \infty}\log_a(x_n)=\log_a(x)$.
40. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x$ i $\lim\limits_{n \to \infty}y_n=y$, to $\lim\limits_{n \to \infty}x_n^{y_n}=x^y$ dla $a\gt 1$.
41. Wykazać, że $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^n} = 0$ dla $a\gt 1$.
42. Wykazać, że $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!} = 0$ .
43. Wykazać, że $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\log_a(n)}{n!} = 0$.
44. Zbieżność ciągu $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
45. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\pm \infty$, to $\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=e$.
46. Twierdzenie Stolza i wnioski.
47. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$, to $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+\text{...}+a_n}{n}=a$.
48. Wykazać, że jeśli $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$, to $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{a_1\cdot\text{...}\cdot a_n}}{n}=a$.
49. Ciągi fundamentalne. Zasada zupełności Cauchy'ego
50. Granica funkcji w punkcie
51. Równoważność definicji Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji
52. Granice jednostronne a granica funkcji
53. Granice niewłasciwe funkcji i granice w nieskończoności
54. Granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
55. Twierdzenie o trzech funkcjach
56. Wykazać, że $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
57. Wykazać, że $\lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$.
58. Wyrażenia nieoznaczone; przykłady różnych granic ciqgów i funkcji dla tego samego wyrażenia nieoznaczonego
59. Ciągłość funkcji w punkcie i ciągłość w zbiorze
60. Rodzaje nieciągłości
61. Ciągłość sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych
62. Ciągłość funkcji złożonej, ciągłość funkcji odwrotnej
63. Twierdzenic Bolzano (Darboux)
64. Ciągłość funkcji elementarnych (uzasadnienia!)